1 - INTRODUÇÃO

O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras. Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis, facilitando sobremaneira os cálculos. Na verdade, a idéia de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para expoente, conforme veremos a seguir.

Assim, por exemplo, como sabemos que 4² = 16 , onde 4 é a base, 2 o expoente e 16 a potência, na linguagem dos logaritmos, diremos que 2 é o logaritmo de 16 na base 4. Simples, não é?
Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log₄16 = 2.

Outros exemplos:
15² = 225, logo: log₁₅225 = 2
6³ = 216, logo: log₆216 = 3
5⁴ = 625, logo: log₅625 = 4
7⁰ = 1, logo: log₇1 = 0

2 - DEFINIÇÃO

Dados os números reais b (positivo e diferente de 1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação b^x = N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: log_bN = x. Neste caso, dizemos que b é a base do sistema de logaritmos, N é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o logaritmo.

Exemplos:
a) log₂8 = 3 porque 2³ = 8.
b) log₄1 = 0 porque 4⁰ = 1.
c) log₃9 = 2 porque 3² = 9. 
d) log₅5 = 1 porque 5¹ = 5.

Notas:

1 - quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente logN ao invés de log₁₀N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10^x = N.

Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional 
e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim, 
log_eM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.

Exemplos:
a) log100 = 2 porque 10² = 100. 
b) log1000 = 3 porque 10³ = 1000. 
c) log2 = 0,3010 porque 10^0,3010 = 2. 
d) log3 = 0,4771 porque 10^0,4771 = 3. 
e) ln e = 1 porque e¹ = e = 2,7183... 
f) ln 7 = log_e7

2 - Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde a parte inteira é denominada característica e a parte decimal é denominada mantissa .

Assim por exemplo, sendo log20 = 1,3010, 1 é a característica e 0,3010 a mantissa. 
As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.

Consultando a tábua de logaritmo (qualquer livro de Matemática traz) , podemos escrever por exemplo que log45 = 1,6532. As tábuas de logaritmos decimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemático inglês do século XVI. Observe que do fato de termos log45 = 1,6532 , podemos concluir pela definição de logaritmo que 
10^1,6532 = 45.

3) Da definição de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os números reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log₃(-9) , log₂0 , etc.

4) É fácil demonstrar as seguintes propriedades imediatas dos logaritmos, todas decorrentes da definição:

P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja: 
log_b1 = 0 porque b⁰ = 1.

P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: log_bb = 1 , porque b¹ = b.

P3) log_bb^k = k , porque b^k = b^k .

P4) Se log_bM = log_bN então podemos concluir que M = N. Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).

P5) b^logbM = M ou seja: b elevado ao logaritmo de M na base b é igual a M.

3 - PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS

P1 - LOGARITMO DE UM PRODUTO

O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores, ou seja:
log_b(M.N) = log_bM + log_bN

Exemplo: log20 =log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Observe que como a base não foi especificada, sabemos que ela é igual a 10.

P2 - LOGARITMO DE UM QUOCIENTE

O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja:
log_b(M/N) = log_bM - log_bN

Exemplo: log0,02 = log(2/100) = log2 - log100 = 0,3010 - 2,0000 = -1,6990. Do exposto anteriormente, podemos concluir que, sendo log0,02 = -1,6990 então 10^-1,6990 = 0,02.

Da mesma forma podemos exemplificar: 
log5 = log(10/2) = log10 - log2 = 1 - 0,3010 = 0,6990.

Observação: a não indicação da base, subtende-se logaritmos decimal (base 10).

Nota: Chamamos de cologaritmo de um número positivo N numa base b, ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, também na base b. Ou seja:
colog_bN = log_b(1/N) = log_b1 - log_bN = 0 - log_bN = - log_bN.
Exemplo: colog10 = -log10 = -1.

P3 - LOGARITMO DE UMA POTENCIA

Temos a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: log_bM^k = k.log_bM.
Exemplo: log₅25⁶ = 6.log₅25 = 6.2 = 12.

P4 - MUDANÇA DE BASE

Às vezes, para a solução de problemas, temos necessidade de mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja, conhecemos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a . Esta mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo com a fórmula a seguir, cuja demonstração não apresenta dificuldades, aplicando-se os conhecimentos aqui expostos.

Exemplos: 
a) log₄16 = log₂16 / log₂4 (2 = 4:2)
b) log₈64 = log₂64 / log₂8 (2 = 6:3)
c) log₂₅125 = log₅125 / log₅25 = 3 / 2 = 1,5. Temos então que 25^1,5 = 125.

Notas:
1 - na resolução de problemas, é sempre muito mais conveniente mudar um log de uma base maior para uma base menor, pois isto simplifica os cálculos.

2 - Duas conseqüências importantes da fórmula de mudança de base são as seguintes:
a) log_bN = logN / logb (usando a base comum 10, que não precisa ser indicada). 
b) log_ba . log_ab = 1

Exemplos: 
a) log₃7 . log₇3 = 1 
b) log₂3 = log3 / log2 = 0,4771 / 0,3010 = 1,5850

4 - A FUNÇÃO LOGARÍTIMICA

Considere a função y = a^x , denominada função exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente de 1, definida para todo x real.

Observe que nestas condições, a^x é um número positivo, para todo x Î R, onde R é o conjunto dos números reais.

Denotando o conjunto dos números reais positivos por R₊^* , poderemos escrever a função exponencial como segue:
f: R ® R₊^* ; y = a^x , 0 < a ¹ 1

Esta função é bijetora, pois:
a) é injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas.
b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio.

Assim sendo, a função exponencial é BIJETORA e, portanto, é uma função inversível, OU SEJA, admite uma função inversa.

Vamos determinar a função inversa da função y = a^x , onde 0 < a ¹ 1.
Permutando x por y, vem:
x = a^y  y = log_ax

Portanto, a função logarítmica é então:
f: R₊^* ® R ; y = log_ax , 0 < a ¹ 1.

Mostramos a seguir, os gráficos das funções exponencial ( y = a^x ) e logarítmica 
( y = log_ax ), para os casos a > 1 e 0 < a ¹ 1. Observe que, sendo as funções, inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação à reta y = x.

Da simples observação dos gráficos acima, podemos concluir que:

1 - para a > 1, as funções exponencial e logarítmica são CRESCENTES.
2 - para 0 < a ¹ 1, elas são DECRESCENTES.
3 - o domínio da função y = log_ax é o conjunto R₊^* .
4 - o conjunto imagem da função y = log_ax é o conjunto R dos números reais.
5 - o domínio da função y = a^x é o conjunto R dos números reais.
6 - o conjunto imagem da função y = a^x é o conjunto R₊^* .
7 - observe que o domínio da função exponencial é igual ao conjunto imagem da função logarítmica e que o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto imagem da função exponencial. Isto ocorre porque as funções são inversas entre si.

Vamos agora, resolver os seguintes exercícios sobre logaritmos:

1 - Se S é a soma das raízes da equação log² x - logx - 2 = 0 , então calcule o valor 
de 1073 - 10S.

SOLUÇÃO:
Façamos logx = y; vem:
y² - y - 2 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau acima, encontramos: y = 2 ou y = -1.
Portanto,
logx = 2 OU logx = -1

Como a base é igual a 10, teremos:
log₁₀x = 2  x = 10² = 100
log₁₀x = -1  x = 10^-1 = 1/10

As raízes procuradas são, então, 100 e 1/10.
Conforme enunciado do problema, teremos:
S = 100 + 1/10 = 1000/10 + 1/10 = 1001/10

Logo, o valor de 1073 - 10S será:
1073 - 10(1001/10) = 1073 - 1001 = 72
Resposta: 72

2 - Calcule o valor de y = 6^x onde x = log₃2 . log₆3 .

SOLUÇÃO:
Substituindo o valor de x, vem:
y = 6^log₃^{2 . log}₆³ = (6^log₆³)^log₃² = 3^log₃² = 2
Na solução acima, empregamos a propriedade b^log_b^M = M , vista anteriormente.
Resposta: 2

3 - UEFS - Sendo log 2 = 0,301, o número de algarismos de 5²⁰ é:
a) 13
b) 14 
c) 19
d) 20 
e) 27

SOLUÇÃO:
Seja n = 5²⁰ . Podemos escrever, usando logaritmo decimal:
log n = log 5²⁰ = 20.log5

Para calcular o valor do logaritmo decimal de 5, ou seja, log5, basta lembrar que podemos escrever:
log 5 = log (10/2) = log 10 - log 2 = 1 - 0,301 = 0,699

Portanto, log n = 20 . 0,699 = 13,9800
Da teoria vista acima, sabemos que se log n = 13,9800, isto significa que a característica do log decimal vale 13 e, portanto, o número n possui 13 + 1 , ou seja 14 algarismos.
Portanto, a resposta correta é a letra B.

4 - UFBA - Considere a equação 10^{x + 0,4658} = 368. Sabendo-se que 
log 3,68 = 0,5658 , calcule 10x.

SOLUÇÃO: 
Temos: 10^{x + 0,4658} = 368
Daí, podemos escrever:
log 368 = x + 0,4658  x = log 368 - 0,4658
Ora, é dado que: log 3,68 = 0,5658, ou seja:
log(368/100) = 0,5658

Logo, log 368 - log 100 = 0,5658  log 368 - 2 = 0,5658 , já que 
log 100 = 2 (pois 10² = 100).
Daí, vem então:
log 368 = 2,5658

Então, x = log 368 - 0,4658 = 2,5658 - 0,4658 = 2,1
Como o problema pede o valor de 10x, vem: 10.2,1 = 21
Resposta: 21

5 - Se log N = 2 + log 2 - log 3 - 2log 5 , calcule o valor de 30N.

SOLUÇÃO:
Podemos escrever: 
logN = 2 + log2 - log3 - log5²
logN = 2 + log2 - log3 - log25
logN = 2 + log2 - (log3 + log25)
Como 2 = log100, fica:
logN = (log100 + log2) - (log3 + log25)
logN = log(100.2) - log(3.25)
logN = log200 - log75
logN = log(200/75)

Logo, concluímos que N = 200/75
Simplificando, fica:
N = 40/15 = 8/3
Logo, 30N = 30(8/3) = 80
Resposta: 30N = 80

Agora, resolva estes:

1 - UFBA - Sendo log2 = 0,301 e x = 5³ . , então o logx é:
*a) 2,997 
b) 3,398 
c) 3,633 
d) 4,398 
e) 5,097

2 - UEFS - O produto das raízes da equação log(x² -7x + 14) = 2log2 é:
01) 5
02) 7 
*03) 10 
04) 14 
05) 35

3 - UCSal - Se 12ⁿ⁺¹ = 3ⁿ⁺¹ . 8 , então log₂ n é igual a:
a) -2 
*b) -1 
c) 1/2 
d) 1 
e) 2

4 - UEFS - O domínio da função y = log [(2x-3)/(4-x)] é:
a) (-3/2,4) 
b) (-4,3/2) 
c) (-4,2) 
*d) (3/2,4) 
e) (3/2,10)

5 - UFBA - Determine o valor de x que satisfaz à equação log₂ (x-3) + log₂ (x-2) = 1.
Resp: 4

6 - UFBA - Existe um número x diferente de 10, tal que o dobro do seu logaritmo decimal excede de duas unidades o logaritmo decimal de x-9. Determine x.
Resp: 90

7 - PUC-SP - O logaritmo, em uma base x, do número y = 5 + x/2 é 2. Então x é igual a:
a) 3/2 
b) 4/3 
c) 2 
d)5 
*e) 5/2

8 - PUC-SP - Se x+y = 20 e x - y = 5 , então log(x² - y² ) é igual a:
a) 100 
*b) 2 
c) 25 
d) 12,5 
e) 1000
Sugestão: observe que x² - y² = (x - y) (x + y)

Nota: os enunciados das questões abaixo foram publicados no caderno FOVEST99 da Folha de São Paulo de 03.10.98. Vamos resolve-las!

1 – O volume de um líquido volátil diminui de 20% por hora. Após um tempo t, esse volume fica reduzido à décima parte. Usando log2 = 0,30, podemos concluir que:

a) t = 8h 
b) t = 9h 
c) t = 10h 
d) t = 12h 
e) t = 15h

SOLUÇÃO: Seja V_t o volume do líquido no tempo t. Teremos:
V₀ = V
V₁ = (0,8).V
V₂ = (0,8) . V₁ = (0,8)² . V
V₃ = (0,8) . V₂ = (0,8)³ . V
Observando as expressões acima, não deve ser difícil concluir que:
V_t = (0,8)^t . V
Como V_t = V/10 (dado do problema), vem: V/10 = (0,8)^t . V
Cancelando o fator comum V, fica: 1/10 = (0,8)^t  1/10 = (8/10)^t
Pela definição e propriedades dos logaritmos, vem:

Portanto, resposta t = 10h e a alternativa correta é a de letra C.

2 – Se log₂log₂log₂x = 2, quantos dígitos tem o número x no sistema decimal?

a) 5
b) 7
c) 9
d) 11
e) 13

SOLUÇÃO:
Sabemos que se log_bN = x então b^x = N.
Teremos então:
log₂(log₂log₂x) = 2  log₂log₂x = 2² = 4
Analogamente, teremos:
log₂x = 2⁴ = 16
Portanto, vem finalmente que: x = 2¹⁶
O problema agora é calcular o número de dígitos (algarismos) do número 2¹⁶.
Seja P = 2¹⁶ . Aplicando logaritmo decimal a ambos os membros, vem:
logP = log2¹⁶  logP = 16.log2
Considerando log2 = 0,3010 (valor aproximado), fica:
logP = 16. 0,3010 = 4,816
Ora, se logP = 4,816, então o número P possui 5 algarismos (dígitos).
Portanto, a alternativa correta é a letra A.
NOTA: Na aula sobre logaritmos nesta homepage, explico a passagem acima. Mas, vou dar uma dica aqui mesmo:
Se log N = c,mnz..., onde c > 0 é a parte inteira do logaritmo decimal (comumente conhecida como característica do logaritmo decimal ) , podemos afirmar que N possui c+1 algarismos. 
Exemplos:
logP = 2,3012 Þ P possui 3 algarismos
logN = 5,978 Þ N possui 6 algarismos
logM = 35,7856 Þ M possui 36 algarismos.

3 – FUVEST – A figura mostra o gráfico da função logaritmo na base b. O valor 
de b é:

a) 1/4
b) 2
c) 3
d) 4
e) 10

SOLUÇÃO:
Do gráfico acima, é imediato que: log_b 0,25 = -1  b ^–1 = 0,25  1/b = 0,25
Portanto, b = 1/0,25 = 4. Logo a alternativa correta é a da letra D.

Se necessário, revise Logaritmos. 

Nota: nos exercícios a seguir, a não indicação da base, significa logaritmo na base 10, ou seja, log N = log₁₀N.

1 – VUNESP – Se log 8 = 0,903 e log 70 = 1,845, então log 14 é igual a:

a) 1,146
b) 1,164
c) 1,182
d) 1,208
e) 1,190

Solução:

Observe que 14 = 2x7. Portanto,
log 14 = log (2.7) = log 2 + log 7

Como log 8 = 0,903, poderemos escrever:
log 2³ = 0,903  3.log 2 = 0,903  log 2 = 0,903/3
log 2 = 0,301

Como log 70 = 1,845, poderemos escrever:
log 70 = log (7.10) = log 7 + log 10 = 1,845

Como o logaritmo decimal de 10 é igual a 1, ou seja,
log 10 = 1, vem imediatamente por substituição:
log 7 + 1 = 1,845  log 7 = 0,845.

Finalmente, log 14 = log (2.7) = log 2 + log 7
log 14 = 0,301 + 0,845 = 1,146
log 14 = 1,146

2 – CESGRANRIO – As indicações R₁ e R₂, na escala Ritcher, de dois terremotos estão relacionadas pela fórmula
R₁ – R₂ = log(M₁/M₂), onde M₁ e M₂ medem a energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos: um correspondente a R₁ = 8 e outro correspondente a R₂ = 6. 
Então, a razão (M₁/M₂) vale:

a) 100
b) 2
c) 4/3
d) 10
e) 1

Solução:

Decorre imediatamente do enunciado que:
8 – 6 = log (M₁/M₂) = 2.
Logo, (M₁/M₂) = 10² = 100.

3 – Mackenzie – O volume de um líquido volátil diminui de 20% por hora. 
Após um tempo t, seu volume se reduz à metade. 
O valor que mais se aproxima de t é:

a) 2h 30 min
b) 2h
c) 3h
d) 3h 24 min
e) 4h
Dado: log 2 = 0,30.

Solução:

Seja V_o o volume inicial do líquido.

Teremos para o volume V, lembrando que
100% - 20% = 80% = 0,80:
Após 1 hora: V = 0,80.V_O
Após 2 horas: V = (0,80).(0,80.V_O) = (0,80)².V_O
..............................................
Após n horas: V = (0,80)ⁿ.V_o

Quando o volume for a metade do volume inicial, teremos V = V_O/2
Substituindo, fica:
V_O/2 = (0,80)ⁿ . V_O

Simplificando, vem: 1/2 = (0,80)ⁿ
Aplicando logaritmo decimal a ambos os membros, vem:

log(1 /2) = log (0,80)ⁿ
log 1 – log2 = n.log 0,80

log 1 – log 2 = n . log (8/10)
log 1 – log 2 = n.(log 8 – log 10)

log 1 – log 2 = n.(log 2³ – log 10)
log 1 – log 2 = n.(3.log 2 – log 10)

Como log 1 = 0  e log 10 = 1, vem:
- log 2 = n.(3.log 2 – 1)

Substituindo o valor de log 2 = 0,30, fica:
- 0,30 = n.[3.(0,30) – 1]
-0,30 = n.(0,90 – 1)
-0,30 = - 0,10.n
n = -0,30/(-0,10) = 3h
n = 3h

4 – Resolva a equação seguinte:
log₂(x² + 2x – 7) – log₂(x – 1) = 2

Solução:

Aplicando a propriedade de logaritmo de quociente, ou seja:
log_bA – log_bB = log_b(A/B), vem:
log₂[(x² + 2x – 7)/(x – 1)] = 2 

Lembrando que se log_bN = c então b^c = N, vem:
2² = [(x² + 2x – 7)/(x – 1)
4(x – 1) = x² + 2x – 7
4x – 4 - x² - 2x + 7 = 0
2x – x² + 3 = 0
x² - 2x - 3 = 0

Resolvendo esta equação do segundo grau, vem imediatamente:
x = 3  ou  x = -1

Observe que a raiz x = -1 não serve ao problema, pois na equação dada, 
log₂(x² + 2x – 7) – log₂(x – 1) = 2, substituindo x por –1, as expressões entre parêntesis seriam negativas e, como sabemos, não existe logaritmo de número negativo. Assim, a única solução da equação proposta é x = 3.

5 – FUVEST – Se log 8 = a então log 5 vale:

a) a³
b) 5 a – 1
c) 1 + a/3
d) 2 a/3
e) 1 – a/3

Solução:

Podemos escrever:
log 2³ = a   3.log 2 = a   log 2 = a/3

Ora, 5 = 10/2 e, portanto,
log 5 = log(10/2) = log 10 – log 2 = 1 – a/3.
log 5 = 1 – a/3

Agora resolva este:

Se log₂(x – y) = a, e x + y = 8, determine log₂(x² – y²).

Resposta: a + 3.

Se  n = log(11/15) + log(490/297) – 2 log(7/9) então 10ⁿ é igual a:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Solução:

Lembramos inicialmente que,quando a base do sistema de logaritmos não é informada, subtende-se que a base é 10, ou seja:

log A = log₁₀A

Aplicando as seguintes propriedades operatórias dos logaritmos: 

P1) log (a / b) = log a – log b  (logaritmo de um quociente).
P2) log (a . b) = log a + log b  (logaritmo de um produto).
P3) log a^m = m.log a  (logaritmo de uma potencia).

teremos:

n = log(11/15) + log(490/297) – 2 log(7/9)

n = log 11 – log 15 + log 490 – log 297 – 2(log 7 – log 9)

Observando que:
15 = 5.3  ,  490 = 2.5.7² ,  297 = 3³.11  e   9 = 3²

Vem imediatamente:
n = log11 – log(3.5) + log(2.5.7²) – log(3³.11) – 2.log7  +  2.log3²

Desenvolvendo, fica:
n = log11 – (log5 + log3) + (log2 + log5 + log7²) – (log3³ + log11) – 2.log7 + 4.log3)

Eliminando os parênteses e simplificando, vem:
n = log11 – log5 – log3 + log 2 + log5 + 2.log7 – 3.log3 – log11 – 2.log7 + 4.log3

De onde conclui-se:   n = log 2
Portanto, 10ⁿ = 10^log2 = 2
Nota: 10^{log n} = n.

Quantos algarismos terá a potencia 40⁴⁰ ?
Dado: log 2 = 0,3010

A) 40
B) 50
C) 60
D) 65
E) 1600

Solução:

40⁴⁰ = 40.40.40. ... .40 (produto com 40 fatores).
Revise logaritmo

Vamos calcular o logaritmo da potencia dada:
log 40⁴⁰ = 40.log 40

Observando que 40 = 4.10 = 2².10, podemos escrever:
log 40⁴⁰ = 40.log 40 = 40.log(2².10)

log 40⁴⁰ = 40.(log 2² + log 10) = 40(2.log 2 + log 10)

Como log 2 = 0,3010, porque 10^0,3010 = 2  e log 10 = 1, porque 10¹ = 10, vem, substituindo os valores 
log 40⁴⁰ = 40(2.0,3010 + 1) = 40.1,6020 = 64,0800

Como a característica de log 40⁴⁰ é igual a 64 (parte inteira do logaritmo decimal), concluímos que ele possui 65 algarismos. Portanto, alternativa D.

É altamente recomendável que você revise antes LOGARITMOS, a não ser que você não tenha dúvidas sobre as suas propriedades operatórias. Caso você clique no link acima, para retornar à esta página, clique em Voltar no seu browser. De qualquer forma, para entender as soluções apresentadas a seguir, basta saber que para N > 0 e 0 < b < 1, são válidas as seguintes propriedades e definições:

a) se log _b N = x então b ^x = N.
Exemplo: se log ₃ 81 = 4 então 3⁴ = 81. A recíproca também é verdadeira ou seja:
se 3⁴ = 81 então log ₃ 81 = 4.

b) log _b N ^k = k . log _b N
Exemplo: log ₂ 4³ = 3.log ₂ 4. Observe que ambos os membros são iguais a 6 pois:
log ₂ 4³ = log ₂ 64 = 6 porque 2⁶ = 64.
3.log ₂ 4 = 3.2 = 6 porque log ₂ 4 = 2 pois 2² = 4.

c) o logaritmo decimal de N , é o logaritmo de N na base 10 e indica-se simplesmente 
log N, onde subtende-se que a base b é igual a 10.

d) se log N = k então 10^k = N
Exemplo: se log 100 = 2 então 10² = 100 e a recíproca também é verdadeira ou seja, se 10² = 100 então log100 = 2.

e) se o logaritmo decimal de um número N for igual ao número decimal da forma c,m onde c é a parte inteira e 0,m a parte decimal , o número Npossui c + 1 algarismos na sua parte inteira. Isto pode ser facilmente provado, mas não o faremos aqui. Se quiser, visite o arquivo logaritmos e veja o porquê. Caso você clique no link anterior, para retornar a esta página, clique em Voltar no seu browser.
Nota: c é chamado característica e 0,m é chamado de mantissa do logaritmo decimal.

Exemplos:
log 1000 = 3,0000 pois 10^3,0000 = 1000 (observe que c = 3 e N = 1000 possui 4 algarismos, ou seja 3 + 1 = 4 algarismos).
log 10000 = 4,0000 pois 10^4,0000 = 10000 (observe que neste caso c = 4 e N = 10000 possui 5 algarismos, ou seja 4+1 = 5 algarismos).

Bem, vamos aos exercícios resolvidos:

1) Qual o número de algarismos de 2²⁰⁰⁰ ?

Solução:

Seja x = 2²⁰⁰⁰ . Podemos escrever: log x = log 2²⁰⁰⁰ e daí, log x = 2000 . log2 .
Ocorre que log 2 @ 0,3010 ou seja, o logaritmo decimal de 2 é igual aproximadamente a 0,3010.

Nota: o logaritmo decimal de 2 ou seja, log 2 é, na verdade, um número irracional e, por isto, só poderemos conhecer os seus valores aproximados, pois log 2 = 0,30102999566398119521373889472449... é formado por um número infinito de casas decimais. O valor acima foi obtido na calculadora científica do Windows.
Os logaritmos decimais são normalmente obtidos das tábuas de logaritmos ou através de calculadoras científicas. Nas provas de vestibulares entretanto, sempre que se faz necessário o conhecimento do logaritmo decimal de um número para resolver determinada questão, o seu valor aproximado é geralmente informado no corpo da prova.
Vale a pena entretanto, memorizar os seguintes valores aproximados dos logaritmos decimais: log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771.

Então, retornando ao exercício:
x = 2²⁰⁰⁰
log x = log 2²⁰⁰⁰ = 2000 . log 2
log x = 2000.log 2 = 2000.0,3010 = 602,0000 e, como a parte inteira do logaritmo decimal de x = 2²⁰⁰⁰ é igual a 602, o número x possui 602 + 1 = 603 algarismos.(veja o item (e) acima).
Resposta: 2²⁰⁰⁰ possui 603 algarismos.

2) Qual o número de algarismos de 32¹⁰⁰⁰ ?

Solução:

Seja x = 32¹⁰⁰⁰. Observe que poderemos escrever x = (2⁵)¹⁰⁰⁰ = 2⁵⁰⁰⁰
Portanto, x = 2⁵⁰⁰⁰ e, aplicando logaritmo decimal a ambos os membros, fica:
log x = log 2⁵⁰⁰⁰ = 5000 . log 2 e como já sabemos que o valor aproximado de log 2 é 0,3010, vem:
log x = 5000 . 0,3010 = 1505, 0000
Portanto, pelo mesmo raciocínio do exercício anterior, o número 32¹⁰⁰⁰ possui 1505 + 1 = 1506 algarismos.
Resposta: 32¹⁰⁰⁰ possui 1506 algarismos.

3) No ano de 1938, o matemático americano Edward Kasner (1878 – 1955), criou a expressão googol (aportuguesada para gugol), para expressar o número 10 elevado a 100, ou seja, segundo o professor Kasner, 1 gugol = 10¹⁰⁰. Qual o número de algarismos de 100 gugóis?

Solução:

Sendo 1 gugol igual a 10¹⁰⁰ , 100 gugóis será :
x = 100 . 10¹⁰⁰ = 10² . 10¹⁰⁰ = 10¹⁰²
x = 10¹⁰²
Aí não precisa nem aplicar logaritmos, pois 10¹⁰² é igual ao número 1 seguido de 102 zeros. Portanto, 10¹⁰² possui 103 algarismos.
Nota: 10ⁿ para n natural possui n + 1 algarismos (1 seguido de n zeros).

Agora resolva este:

Qual o número de algarismos de 64⁶⁴ ?
Resposta: 116

1) UEFS 2000.2 – A escala Richter é usada, desde 1935, para medir a intensidade de um terremoto através da fórmula 
I = (2/3).log₃(E / k), em que E é a energia liberada pelo terremoto; k, uma constante, sendo E e k medidas em kWh – quilowatt-hora. Sabendo-se que, em duas cidades, X e Y, foram registrados terremotos que tiveram intensidades iguais a, respectivamente, 4 e 8 na escala Richter e sendo E_x a energia liberada em X e  E_y a energia liberada em Y, pode-se afirmar:
A) E_y = 2E_x
B) E_y = 2⁸E_x
C) E_y = 3²E_x
D) E_y = 3³E_x
E) E_y = 3⁶E_x

Nota: UEFS - Universidade Estadual de Feira de Santana.

Solução:

Temos que I_X = 4  e I_Y = 8, pelo enunciado do problema.

Substituindo na fórmula do enunciado, vem:

4 = (2/3).log(E_X / k) 4 / (2/3) = log(E_X / k)   log₃(E_X / k) = 6
8 = (2/3).log(E_Y / k) 8 / (2/3) = log(E_X / k)   log₃(E_Y / k) = 12

Já sabemos de Logaritmos que se log_bN = x, então b^x = N.

Logo,

De  log₃(E_X / k) = 6   tiramos E_X / k = 3⁶
De  log₃(E_Y / k) = 12 tiramos E_Y / k = 3¹²

Dividindo membro a membro as expressões em azul negrito acima, fica:

(E_X / k) / (E_Y / k) = 3⁶ / 3¹²

Efetuando as divisões indicadas no primeiro e segundo membros, vem: 
Nota: lembre-se que para dividir duas frações, multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda. Teremos então:
E_X / E_Y = 3^6-12 = 3^-6 = 1 / 3⁶
Nota: Lembre-se que a^-n = 1 / aⁿ

Daí vem imediatamente que:

E_X / E_Y = 1 / 3⁶ Þ E_Y / E_X = 3⁶ Þ E_Y = 3⁶.E_X

Concluímos pois, que a alternativa correta é a de letra E de Errado , ra ra ra ra ....
Brincadeira à parte, E é a alternativa correta.

Nota: A escala logarítmica Richter foi criada em 1935 pelo norte-americano Charles Richter (1900 – 1985), para avaliar a energia liberada nos terremotos. Sabe-se que um terremoto medindo 5 graus na escala Richter pode ser destrutivo; nunca foi registrado um terremoto de intensidade 10. Consta que o terremoto no Japão em 11/3/2011, atingiu 8,9 na escala Richter, tendo sido portanto, de grande magnitude.

2) Foi amplamente divulgado que o terremoto de 11 de março de 2011 no Japão, teria deslocado o eixo da Terra em 25 centímetros. Pede-se determinar o deslocamento angular correspondente.

Solução:  Considere a figura a seguir onde o arco  BU  mede 25 cm e o raio da Terra (considerada esférica) seja BO = UO = 6400 km. (O raio daTerra Média mede aproximadamente 6400 quilômetros).

 
Já sabemos da Trigonometria que a medida de  um ângulo central (em radianos) é igual ao quociente entre o comprimento do arco e o raio do círculo correspondente. Então, na figura acima teremos:
Arco BU -----> mede 25 cm, conforme enunciado da questão.
Raios BO e UO -----> medem 6400 km (comprimento do raio médio da Terra). Então, a medida do ângulo central UÔB (vértice em O) o qual desejamos calcular, será igual a:

UÔB = BU / BO 

Nota: BU e BO devem estar expressos na mesma unidade; então, vamos expressar tudo em centímetros. Teremos: BU = 25 cm (dado no problema) e UO = 6400 km = 6 400 000 m = 640 000 000 cm, já que 1 km = 1000 m  e 1m = 100 cm.

Nestas condições, teremos:

UÔB = 25/640 000 000 radianos, que simplificado resulta em UÔB = 1/25 600 000 radianos

Para termos uma percepção mais apurada da medida acima em radianos, vamos transformá-la em graus sexagesimais; já sabemos que:
¶ radianos = 180º 
Então 1/25 600 000 radianos valerá  xº (x graus). Logo, por regra de três, tiramos:

x = (1/ 25 600 000).(180/¶)  e como o valor de  ¶  (pi)  é aproximadamente 3,1416, teremos finalmente, após efetuar as operações indicadas: x = 0,000 00224 º . 

Vemos que o deslocamento angular correspondente é um número muito pequeno e equivalente a aproximadamente "2,24 milionésimos de um grau" (2,24.10^-6 grau). 

Em resumo: um deslocamento linear do eixo da Terra igual a 25 cm, resultaria num deslocamento angular desse mesmo eixo, em aproximadamente 2,24 milionésimos de um grau.

Agora resolva este:

Considerando as mesmas condições do problema anterior, calcule o deslocamento angular para o caso de um deslocamento linear de 10 centímetros no eixo da Terra. Dado: raio da Terra Média = 6400 km.

Resposta: aproximadamente 1 milionésimo de um grau.

Nota: Como é sabido que os padrões climáticos conhecidos como estações (Verão, Outono, Primavera e Inverno), dependem da inclinação do eixo da Terra em relação ao Sol, poderemos inferir que qualquer mudança angular no eixo da Terra, poderá ter influência no clima. Trata-se entretanto de uma mera conjectura minha, a qual entretanto, parece-me verdadeira.   

Resolva a equação abaixo em R (conjunto dos números reais) :
log₁₆x + log_x2 = 5/4

Nota: problema enviado para solução, pela visitante do site, Letícia do Brasil.

Solução:

Sabendo-se que:

log_bN = log_aN / log_ab   (fórmula da mudança de base),
poderemos escrever para log₁₆x :
log₁₆x = log₂x / log₂16 = log₂x / 4, uma vez que log₂16 = 4, pois 2⁴ = 16.

Substituindo na expressão original, vem:
log_x2 + log₂x / 4 = 5/4

Multiplicando ambos os membros por 4, (para eliminar o denominador 4), fica:
4.log_x2 + log₂x = 5

Lembrando que log_ba = 1 / log_ab , entenderemos facilmente que
log_x2 = 1 / log₂x

Substituindo novamente, vem:
4 / log₂x  + log₂x = 5

Fazendo log₂x = y (uma mudança transitória de variável), vem:
4 / y + y = 5

Supondo y ¹ 0, poderemos multiplicar ambos os membros da igualdade acima por   y, 
para eliminar o denominador y.

Teremos então:
4 + y² = 5y , ou passando 5y para o primeiro membro:
y² – 5y + 4 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau acima, encontraremos:
y = 4 ou y = 1

Ora, já sabemos que y = log₂x (devido à mudança de variável feita acima) e, portanto:
log₂x = 4  OU   log₂x = 1

Daí, da definição de logaritmo,  concluímos inevitavelmente que:
x = 2⁴  ou  x = 2¹   x = 16 ou x = 2.

Logo, o conjunto solução (ou conjunto verdade) do problema apresentado é:
S = { 2; 16 }. 

Determine o número de algarismos do número N = 2¹² . 5⁸

Solução:

Tomemos o logaritmo decimal de ambos os membros da igualdade:
log N = log (2 ¹² . 5 ⁸ )

Aplicando as propriedades usuais dos logaritmos, vem:

log N = log 2 ¹² + log 5 ⁸
log N = 12 . log 2 + 8 . log 5

Mas, 5 = 10 / 2, logo:

log N = 12 . log 2 + 8 . log (10 / 2)
log N = 12 . log 2 + 8 (log 10 – log 2)

Mas, log 10 = 1, de onde vem:
log N = 12 . log 2 + 8 (1 – log 2)

Desenvolvendo o segundo membro , fica:
log N = 12 . log 2 + 8 – 8 . log 2

Simplificando, teremos:
log N = 4 . log 2 + 8

Tomando o valor aproximado do logaritmo decimal de 2 que é igual a  log 2 = 0,3010 e substituindo, fica:

log N = 4 . 0,3010 + 8 = 1,2040 + 8 = 9,2040
log N = 9,2040

Daí tiramos da definição de logaritmo :

N = 10 ^9,2040 = 10 ⁹ . 10 ^0,2040

É  claro que  o número 10 ^0,2040  é um número entre 1 e 10 pois   10 ⁰ < 10 ^0,2040 < 10 ¹ , ou seja:
1 < 10 ^0,2040 < 10  e,   portanto, possui apenas um dígito. Claro que este número multiplicado por 10 ⁹ resultará num número seguido de 9 zeros, portanto, ele terá 10 algarismos.

Agora resolva este:

Quantos algarismos possui o número 1024¹⁰²⁴ ?
Sugestão: observe que 1024 = 2 ¹⁰
Resposta: 3083 algarismos

FUVEST 1994 – 1ª FASE – O número real x que satisfaz a equação log₂ (12 – 2^x) = 2x é:
A) log₂5
B) log₂ Ö 3
C) 2
D) log_2Ö 5
E) log₂3

Solução:

Já sabemos dos logaritmos que:
Se log _b M = c então b^c = M, para M > 0 e 0 < b ¹ 1.
No presente exercício, como log₂ (12 – 2^x) = 2x então 2 ^2x = 12 – 2^x , com a condição que 12 – 2^x seja positivo e 2x também positivo.

Observe que podemos escrever a igualdade anterior como:
(2^x)² = 12 – 2^x
Aqui vemos que 2^x aparece nos dois membros da equação; Fazendo 2^x = y (chamamos isto de mudança de variável) , teremos:
y² = 12 – y

Trata-se de uma equação do segundo grau em y.

Teremos:

y² + y – 12 = 0 uma equação da forma ax² + bx + c = 0 onde a= 1, b =1 e c = -12.

Aplicando a conhecida fórmula atribuída a Bhaskara (matemático hindu do século XII), vem:

Então y’ = 3 e y’’ = - 4.

Observe que a raiz y’’ = - 4 não serve ao problema pois como y = 2^x , y deve ser positivo.

Logo, como y = 3, vem que 2^x = 3 de onde se conclui inevitavelmente que x = log₂3, o que nos leva à alternativa E.

Um pouco de história

No século XVI , os matemáticos Cardano (Girolamo Cardano , matemático italiano, 1501-1576) e Bombelli (Rafael Bombelli , matemático italiano, 1526-1572) , entre outros, realizaram alguns progressos no estudo dos números complexos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wessel (Caspar Wessel - matemático norueguês, 1745-1818), Argand (Jean Robert Argand, matemático suíco, 1768-1822) e Gauss (Johann Friederich Carl Gauss, 1777-1855). Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.
Opostamente ao senso comum divulgado amplamente nos livros do segundo grau, a construção da teoria dos números complexos não teve origem na análise das equações do segundo grau, mas, sim, na busca da solução da equação do terceiro grau. Dizer que os números complexos surgiram da análise das equações do segundo grau, é tão somente uma aproximação simplificada do conhecimento. Talvez, e muito provavelmente, os autores pretendiam com isto, facilitar o entendimento para os alunos do segundo grau; cumpre-nos entretanto informar a verdade, com base na realidade da história da Matemática.
Didaticamente, entretanto, seguiremos um caminho convencional de abordagem, sem grandes prejuízos. 

Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como sendo a raiz quadrada
de -1. Pode-se escrever então: i = Ö-1 .
Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo das raízes quadradas de números negativos .

Ex: Ö-16 = Ö16 . Ö-1 = 4.i = 4i

Potências de i :
i⁰ = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = i² . i = -i
i⁴ = (i²)² = (-1)² = 1
i⁵ = i⁴ . i = 1.i = i
i⁶ = i⁵ . i = i . i = i² = -1 
i⁷ = i⁶ . i = -i , etc.

Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo 
1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a partir do expoente zero. 
Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta eleva-lo ao resto da divisão do expoente por 4. Assim , podemos resumir:

i⁴ⁿ = i^r onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4).

Exemplo: Calcule i²⁰⁰¹
Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i²⁰⁰¹ = i¹ = i .

NÚMERO COMPLEXO

Definição: Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo: 
z = a + bi , onde i = Ö-1 é a unidade imaginária . 
Exemplos: z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3); w = -3 -5i (a = -3 e b = -5) ; u = 100i ( a = 0 e b = 100)

NOTAS:
a) diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z .
b) dado o número complexo z = a + bi , a é denominada parte real e b parte imaginária. 
Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z) .
c) se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro . Ex: z = 3i .
d)se em z = a + bi tivermos b = 0 , dizemos que z é um número real . 
Exemplo: z = 5 = 5 + 0i . 
e)do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja, 
o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos.
f) um número complexo z = a + bi pode também ser representado como um par ordenado z = (a,b) .

Exercícios Resolvidos:

1) Sendo z = (m² - 5m + 6) + (m² - 1) i , determine m de modo que z seja um imaginário puro.

Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter
m² - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3.

2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)¹² .

Solução: Observe que (1 + i)¹² = [(1 + i)²]⁶ . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável 
(1 + i)² = 1² + 2.i + i² = 1 + 2i -1 = 2i  (1 + i)² = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada). 
Substituindo na expressão dada, vem: 
(1 + i)¹² = [(1 + i)²]⁶ = (2i)⁶ = 2⁶.i⁶ = 64.(i²)³ = 64.(-1)³ = - 64. 
Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a -64.

3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)²⁰⁰ .

Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)²]¹⁰⁰ . Desenvolvendo o produto notável 
(1 - i)² = 1² - 2.i + i² = 1 - 2i -1 = - 2i  (1 - i)² = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser memorizada). 
Substituindo na expressão dada, vem: 
z = (- 2i)¹⁰⁰ = (- 2)¹⁰⁰. i¹⁰⁰ = 2¹⁰⁰ . i¹⁰⁰ = 2¹⁰⁰ . ( i² )⁵⁰ = 2¹⁰⁰. (- 1)⁵⁰ = 2¹⁰⁰ . 1 = 2¹⁰⁰. 
Logo, o número complexo z é igual a 2¹⁰⁰ e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é zero.

CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Dado um número complexo z = a + bi , chama-se conjugado de z e representa-se por , a um outro número complexo que possui a mesma parte real de z e a parte imaginária o simétrico aditivo da parte imaginária de z .

z = a + bi ® = a - bi 
Ex: z = 3 + 5i ;  = 3 - 5i

Nota : Sabemos que os números complexos podem também ser representados na forma de pares ordenados . 
Assim é que z = a + bi = (a,b). 
Portanto , por analogia com o sistema de coordenadas cartesianas , pode-se representar graficamente qualquer número complexo z num sistema de coordenadas cartesianas , bastando marcar a parte real a no eixo horizontal e a parte imaginária b no eixo vertical . Neste caso , o eixo horizontal é chamado eixo real e o eixo vertical é chamado eixo imaginário. O plano cartesiano, neste caso , denomina-se plano de Argand-Gauss. 
O ponto que representa o número complexo z , denomina-se afixo de z.

DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA BINÔMIA

Regra : Para dividir um número complexo z por outro w ¹ 0 , basta multiplicar numerador e denominador pelo complexo conjugado do denominador .

Ex:  =  =  = 0,8 + 0,1 i

Agora que você estudou a teoria, tente resolver os seguintes exercícios:

1 - Calcule o número complexo i¹²⁶ + i^-126 + i³¹ - i¹⁸⁰

2 - Sendo z = 5i + 3i² - 2i³ + 4i²⁷ e w = 2i¹² - 3i¹⁵ , 
calcule Im(z).w + Im(w).z .

3 - UCMG - O número complexo 2z, tal que 5z +  = 12 + 6i é:

4 - UCSal - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real, a deve ser:

5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é:

6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i² + i³ + ... + i¹⁰⁰¹ é:

7) Determine o número natural n tal que (2i)ⁿ + (1 + i)²ⁿ + 16i = 0.
Clique aqui para ver a solução.

8) Calcule [(1+i)⁸⁰ + (1+i)⁸²] : i⁹⁶.2⁴⁰

9) Se os números complexos z e w são tais que z = 2-5i e w = a+bi , sabendo-se que z+w é um número real e z.w .é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b² - 2a. 

10) Se o número complexo z = 1-i é uma das raízes da equação x¹⁰ + a = 0 , então calcule o valor de a.

11) Determine o número complexo z tal que iz + 2 . + 1 - i = 0.

12 - UEFS-92.1 - O valor da expressão E = x^-1 + x², para x = 1 - i , é:
a)-3i 
b)1-i 
c) 5/2 + (5/2)i 
d) 5/2 - (3/2)i 
e) ½ - (3/2)i

13 -UEFS-93.2 - Simplificando-se a expressão E = i⁷ + i⁵ + ( i³ + 2i⁴ )² , obtêm-se:
a) -1+2i 
b) 1+2i 
c) 1 - 2i 
d) 3 - 4i 
e) 3 + 4i

14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3+i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:
a) 1 e 10 
b) 5 e 10 
c) 7 e 9 
d) 5 e 9 
e) 0 e -9

15 - UEFS-94.1 - A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z é:
a) Ö 13
b) Ö 7 
c) 13 
d) 7 
e) 5

16 - FESP/UPE - Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z⁸ é igual a:
a) 16 
b) 161 
c) 32 
d) 32i 
e) 32+16i

17 - UCSal - Sabendo que (1+i)² = 2i, então o valor da expressão y = (1+i)⁴⁸ - (1+i)⁴⁹ é:
a) 1 + i 
b) -1 + i 
c) 2²⁴ . i 
d) 2⁴⁸ . i 
e) -2²⁴ . i

GABARITO:
1) -3 - i    
2) -3 + 18i   
3) 4 + 3i   
4) 3/2   
5) -2 + 18i   
6) i   
7) 3   
8) 1 + 2i  
9) 50   
10) 32i   
11) -1 - i 
12) E    
13) D    
14) A    
15) A   
16) A    
17) E

Nota: Se necessário, reveja a parte 1 de Números complexos, nesta página.

1 - A forma trigonométrica (ou polar) de um número complexo

1.1 - Módulo e argumento

Considere a figura a seguir:

Sendo P o afixo do número complexo z , de módulo ½ z½ , no triângulo OaP, podemos escrever:
cosa = a / ½ z½  a = ½ z½ . cosa e b = ½ z½ . sena

• O ângulo a é denominado argumento do número complexo z e a distância OP é denominada módulo do complexo e representada por ½ z½ , ou pela letra grega r (rô).
• No triângulo retângulo AoP , podemos escrever a seguinte expressão para a determinação da tangente do ângulo a : 
   ..onde 0º £ a £ 360º
• Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo AoP, podemos escrever a seguinte relação para calcular o módulo do número complexo z:
  = r

Notas:

1) é usual representar o módulo de um número complexo, pela letra grega r (rô)

2) Um número complexo de módulo r e argumento q , pode ser representado pelo símbolo z = r Ð q . (Esta simbologia é muito utilizada nos estudos mais avançados de Eletricidade. Para o vestibular, esta notação não tem grande interesse).

EXEMPLO: Dado o número complexo z = 1 + Ö 3 i , determine o módulo e o argumento de z.

a) Módulo:  ou seja r = 2.
b) Argumento: tg a = b / a = Ö 3 / 1 = Ö 3 Þ a = 60º = p / 3 rad (radianos).

1.2- Forma polar de um número complexo
Sendo z = a + bi e substituindo os valores de a e b vistos acima, vem:
z = ½ z½ (cosa + i . sena ) , denominada forma polar ou trigonométrica do número complexo.
Assim, o número complexo do exemplo anterior, poderá ser escrito na forma polar como segue:
z = 2(cos60º + i.sen60º)

Exemplos:
z = 10(cos30º + i.sen30º) = 10(Ö 3 / 2 + i . 1 /2) = 5Ö 3 + 5i
w = 2(cos0º + i.sen0º) = 2(1 + i .0) = 2
r = 5(cos90º + i . sen90º) = 5(0 + i . 1) = 5i
s = 100(cos180º + i . sen180º) = 100( -1 + i . 0) = - 100
u = cos 270º + i . sen270º = 0 + i .(-1) = - i

Nota: A forma polar de um número complexo, é especialmente interessante para o cálculo de potências e raízes de números complexos, conforme veremos adiante.

2 - Operações com números complexos na forma polar

Não é usual efetuar-se adições ou subtrações de números complexos na forma polar, devido ao fato de que estas operações com os números complexos na forma algébrica, são bem mais fáceis de realizar. Se os números complexos estiverem na forma polar, para somá-los (ou subtraí-los), primeiro converta-os para a forma binômia ou algébrica e efetue os cálculos.

Exemplo:
z = 10(cos 0º + i . sen 0º) = 10 (1 + i . 0) = 10
w = 5(cos 90º + i . sen 90º) = 5 (0 + i . 1) = 5i
z + w = 10 + 5i

Mostraremos a seguir, as fórmulas para multiplicação, divisão e potenciação de números complexos.

Sejam os números complexos:
z₁ = r ₁(cosq ₁ + i . senq ₂) , z₂ = r ₂(cosq ₂ + i . senq ₂) e z = r (cosq + i . senq ) .

Temos as seguintes fórmulas, demonstráveis sem excessivo trabalho:

F1) PRODUTO
z₁ . z₂ = r ₁ . r ₂ [cos(q ₁ + q ₂) + i . sen(q ₁ + q ₂)]

EXEMPLO: z₁ = 15(cos30º + i . sen30º) e z₂ = 3(cos60º + i . sen60º).
z₁ . z₂ = 15.3[cos(30º + 60º) + i . sen(30º + 60º)] = 45(cos90º + i . sen90º) = 45(0 + i . 1) = 45i

F2) DIVISÃO

Exemplo:
z₁ = 10(cos120º + i . sen120º) e z₂ = 5(cos30º + i . sen30º)
z₁ / z₂ = 10 /5 [cos(120º - 30º) + i . sen(120º - 30º)] = 2(cos90º + i . sen90º) = 2(0+i . 1) = 2i

F3) POTENCIAÇÃO
zⁿ = r ⁿ(cos n.q + i . sen n.q )

Exemplo:
z = 10(cos30º + i . sen30º)
z³ = 10³(cos3.30º + i . sen3.30º) = 1000(cos90º + i . sen90º) = 1000(0 + i . 1) = 1000i
z⁹ = 10⁹(cos9.30º + i . sen9.30º) = 10⁹(cos270º + i . sen270º) = 10⁹[0 + i . (-1)] = 10⁹.i

A fórmula da radiciação, pela sua importância e seus aspectos peculiares, será mostrada num texto à parte, a ser publicado a seguir. Aguardem!

Um aspecto interessante da fórmula de potenciação de números complexos, é obtido fazendo-se r = 1 ( ou seja, considerando o módulo r do complexo, igual a 1) na fórmula F3 acima:

Teremos então:
z = cosq + i . senq 
zⁿ = cos(nq ) + i . sen(nq )
Substituindo o valor de z , vem, finalmente:
(cosq + i . senq )ⁿ = cos(nq ) + i . sen(nq )
Esta fórmula é conhecida como Fórmula de MOIVRE .
MOIVRE = (lê-se Moavre) - Abraham De Moivre (1667-1754) - matemático francês. Viveu a maior parte de sua vida na Inglaterra. Além de contribuições à teoria dos números complexos, deixou importantes trabalhos sobre a teoria das probabilidades e sobre trigonometria. Um aspecto singular sobre Moivre é que , por não possuir cidadania britânica, ele não conseguiu ensinar nas Universidades inglesas, não obstante a sua genialidade!

Vamos agora, deduzir as fórmulas trigonométricas do seno e coseno do arco duplo, com a utilização da fórmula de Moivre:

Para isto, façamos n = 2 na fórmula de Moivre. Vem:
(cosa + i . sena)² = cos2a + i . sen2a
Desenvolvendo o primeiro membro e igualando, vem:
cos²a + 2 . cosa . i . sena + i² . sen²a = cos2a + i . sen2a
Lembrando que i² = -1, vem:
cos²a - sen²a + i . 2sena.cosa = cos2a + i . sen2a
Ora, para que a igualdade acima seja verdadeira, deveremos ter necessariamente:
cos2a = cos²a - sen²a
sen2a = 2.sena.cosa
Estas são as fórmulas trigonométricas do arco duplo, elegantemente e facilmente deduzidas sem complicações, pela fórmula de Moivre.

NOTA: Como sabemos da Trigonometria que sen²a + cos²a = 1, vem que:
sen²a = 1 - cos²a e
cos²a = 1 - sen²a
Daí, é que substituindo os valores acima na fórmula do coseno do arco duplo (cos2a), fica:
cos2a = 2cos²a - 1
cos2a = 1 - 2sen²a
Estas são importantes fórmulas trigonométricas, de interesse para questões de vestibulares.

Se lhe pedissem no vestibular, (numa prova da 2ª fase) , para calcular sen3a e cos3a, como você resolveria? É simples!

Basta considerar na fórmula de Moivre, n = 3.
Tente! Você obteria:
cos3a = cos³a - 3.sen²a.cosa
sen3a = 3.cos²a.sena - sen³a
Tente!

Fórmula de Moivre (Abraham De Moivre - matemático francês - 1667 - 1754)

Exemplos:
(cos 30º + i . sen 30º)² = cos 60º + i . sen 60º (onde  n = 2)
(cos 30º + i . sen 30º)³ = cos 90º + i . sen 90º = 0 + i . 1 = i (onde: n = 3)

Exercício resolvido: Calcule:

Solução: Observe que 1 / 2 = cos 60º e Ö 3 /2 = sen 60º . Logo, podemos escrever: 
z = (cos 60º + i . sen 60º)¹⁰⁰ = cos (60 . 100) + i . sen (60 . 100) , de acordo com a fórmula de Moivre. Logo: 
z = cos 6000º + i . sen 6000º . Como o argumento do complexo é 6000º , um arco maior que uma volta, devemos dividi-lo por 360º para retirar as voltas completas e considerar o resto da divisão. O resto da divisão de 6000º por 
360º é 240º . Logo, z = cos 240º + i . sen 240º = - 1 /2 - Ö 3 / 2 i , pois 
cos 240º = - 1 / 2 e sen 240º = - Ö 3 / 2 . Assim, a resposta do problema é:

Aplicações diretas da fórmula de Moivre 
a) Fórmulas do arco duplo
Fazendo n = 2 na fórmula de Moivre, vem:
(cos q + i . sen q ) ² = cos 2 q + i . sen 2 q 
Desenvolvendo o primeiro membro da expressão acima e igualando, vem:

Como i² = -1, vem:

Comparando as igualdades, teremos finalmente:
 (cosseno do arco duplo)
sen2q = 2 senq cosq (seno do arco duplo)

b) Fórmulas do arco triplo
Fazendo n = 3 na fórmula de Moivre, obteremos: (Tente como exercício).
 (cosseno do arco triplo)
 (seno do arco triplo)
Nota: Lembre-se que (x+y)³ = x³ + 3.x².y + 3.x.y² + y³ e faça n = 3 na fórmula de Moivre.

Seja o número complexo z = r (cosq + i . senq ).
Para o cálculo das raízes e-nésimas do complexo z, ou seja, para o cálculo de , deveremos utilizar a seguinte fórmula:

onde k = 0,1,2,3, ... , n - 1.
Esta fórmula é aparentemente assustadora, não é?!
Vamos então, por partes.
1 - O ângulo q (argumento do complexo) deve ser expresso em graus. Se você preferir usar a unidade radiano, ao invés de 360.k, deverá ser usado 2kp , pois 360 graus = 2p radianos.
2 - Como k = 0,1,2,.3, ... , n -1, então são n valores possíveis para a variável k, o que significa que existem n raízes e-nésimas de z. Ou seja: 2 raízes quadradas, três raízes cúbicas, quatro raízes quartas, cinco raízes quintas, etc.
3 - Observe que todas as n raízes e-nésimas de z possuem o mesmo módulo.
Vamos determinar, como exemplo, as três raízes cúbicas da unidade.

Seja o número complexo z = 1 (unidade).
Podemos escrever na forma polar: z = 1 (cos 0º + i . sen 0º)
Temos então:
módulo: r = 1
argumento: q = 0º = 0 rad
Substituindo na fórmula dada, vem:

Fazendo k = 0, obteremos a primeira raiz, ou seja:
z₁ = 1(cos 0º + i . sen 0º) = 1(1 + i . 0) = 1
Fazendo k = 1, obteremos a segunda raiz, ou seja:
z₂ = 1(cos 120º + i . sen 120º) = -1/2 + i . Ö 3 / 2

Finalmente, fazendo k = 2, obteremos a terceira e última raiz:
z₃ = 1(cos 240º + i . sen 240º) = -1 /2 - i . Ö 3 / 2

Um detalhe importante pode ser visualizado no exemplo acima: os argumentos das raízes são 0º, 120º e 240º , que são termos de uma progressão aritmética de razão 120º. Isto não é uma coincidência! Veja a dica abaixo:

As n raízes enésimas de um número complexo de argumento q , possuem argumentos que formam uma 
Progressão Aritmética de primeiro termo q / n e razão 360º / n.

Sabendo disto, poderemos simplificar o cálculo das raízes de um número complexo.Por exemplo, vamos calcular as raízes quadradas da unidade imaginária:

Temos z = i ( i = unidade imaginária).
Portanto, z = 1(cos 90º + i . sen 90º)
módulo: r = 1
argumento: q = 90º 
Como queremos as raízes quadradas, temos n = 2. Pela dica acima, os argumentos das raízes formarão uma P. A . de primeiro termo 90º / 2 = 45º e razão igual a 360 / n = 360 / 2 = 180º. Logo, basta determinar a primeira raiz e usar esta informação para calcular a segunda e última raiz.

Temos:

1ª raiz: fazendo k = 0, vem z₁ = 1(cos 45º + i . sen 45º) = Ö 2 / 2 + i . Ö 2 / 2
2ª raiz: z₂ = 1(cos 225º + i . sen 225º) = - Ö 2 /2 - i .Ö 2 / 2 
Observe que 225º = 45º + 180º (180º = 360 / n = 360 / 2 (veja acima).

Mais um exercício resolvido para você!
Resolva a equação z⁶ - 16z³ + 64 = 0 , onde z Î C (C = conj. dos números complexos).
Vamos começar fazendo z³ = x ; Daí, vem z⁶ = (z³)² = x² ; substituindo, fica:
x² - 16x + 64 = 0  (x - 8)² = 0  x = 8
Como z³ = x , vem z³ = 8 . O problema consiste então no cálculo das raízes cúbicas de 8. Observe 
que 8 = 8 + 0. i ( i = unidade imaginária).

Portanto:

Sabemos que existem três raízes cúbicas; logo, fazendo k = 0, obteremos a primeira raiz:
z₁ = 2(cos 0º + i . sen 0º) = 2(1 + 0.i) = 2
Usando a dica vista acima , vem:
z₂ = 2(cos 120º + i. sen 120º) = 2(- 1 /2 + i . Ö 3 / 2) = - 1 + Ö 3 i
z₃ = 2(cos 240º + i . sen 240º) = 2[- 1 /2 + i . (- Ö 3 / 2) = -1 - Ö 3 i

Portanto, o conjunto solução da equação dada é:
S = {2; -1 + Ö 3 i; -1 - Ö 3 i}

Seja z um número complexo tal que | z| + z = 8 + 4i.
Nestas condições, pede-se:
1 - determinar o número complexo z
2 - determinar o módulo de z
3 - determinar o argumento de z

SOLUÇÃO:
Seja z = x + yi , o número complexo procurado. Teremos então:
| z| = 8 + 4i - z = 8 + 4i - (x + yi) = (8 - x ) + (4 - y)i
| z| = (8 - x) + (4 - y)i (equação I)

Como o módulo de um número complexo é necessariamente um número real, podemos concluir que deveremos ter também necessariamente 4 - y = 0 y = 4.
Portanto, o número complexo procurado é z = x + 4i. Falta determinar o valor de x.

Nestas condições, | z| = (x + 4i)^1/2 ou, de uma forma equivalente,

Substituindo os valores de | z| e de y na equação I acima, vem:

Quadrando ambos os membros, vem:
x² + 16 = (8 - x)²
x² + 16 = 64 - 16x + x² Þ - 48 = - 16x Þ x = 3.
Logo, o número complexo procurado é z = 3 + 4i

Em conseqüência, o seu módulo será :

Para o cálculo do argumento q , teremos:
tg q = b / a = 4 / 3 = 1,333...
Logo, q = arctg 1,333... ou seja, q é o arco cuja tangente é igual a 1,3333... .

Consultando uma tabela trigonométrica, ou usando uma calculadora científica, concluímos que q » 53,13º .

Respostas:
1) z = 3+4i
2) |z| = 5
3) q » 53,13º

Determine o número natural n tal que (2i)ⁿ + (1 + i)²ⁿ + 16i = 0.

SOLUÇÃO: Inicialmente, veja que: (1 + i )² = 1² + 2.1.i + i² = 1 + 2i – 1 = 2i
Nota: é conveniente guardar de memória esta igualdade, pois ela poderá ser útil algum dia: (1 + i )² = 2i

Observe também que (1 + i)²ⁿ = [(1 + i)²]ⁿ = (2i)ⁿ

Substituindo, vem: (2i)ⁿ + (2i)ⁿ + 16i = 0

Simplificando, fica: 2.(2i)ⁿ + 16i = 0

Ou, também: 2.(2i)ⁿ = -16i

Daí, vem imediatamente que: (2i)ⁿ = -8i

Podemos escrever: 2ⁿ.iⁿ = 2³ . (-i)

Então, teremos inevitavelmente: 2ⁿ = 2³ e iⁿ = -i

Portanto, n = 3, uma vez que também i³ = i².i = (-1).i = -i.
A resposta é, então, n = 3.

Geometria Espacial

Conceitos primitivos

     São conceitos primitivos ( e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria espacial os conceitos de ponto, reta e plano. Habitualmente, usamos a seguinte notação:

• pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto 

• retas: letras minúsculas do nosso alfabeto

• planos: letras minúsculas do alfabeto grego

Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos.

Por exemplo, da figura a seguir, podemos escrever:

Axiomas

      Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria.

     Temos como axioma fundamental:existem infinitos pontos, retas e planos.

Postulados sobre pontos e retas

P₁)A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos.

P₂)Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas.

P₃) Por dois pontos distintos passa uma única reta.

P₄) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semi-retas.

Postulados sobre o plano e o espaço

P₅) Por três pontos não-colineares passa um único plano.

P₆) O plano é infinito, isto é, ilimitado.

P₇) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos.

P₈) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semiplanos.

P₉) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas semi-espaços.

Posições relativas de duas retas

No espaço, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas:

 Temos que considerar dois casos particulares:

• retas perpendiculares: 

•  retas ortogonais: 

Postulado de Euclides ou das retas paralelas   

P₁₀) Dados uma reta  r e um ponto P  r, existe uma única reta s, traçada por P, tal que r // s:      

   
Determinação de um plano

              Lembrando que, pelo postulado 5, um único plano passa por três pontos não-colineares, um plano também pode ser determinado por:

• uma reta e um ponto não-pertencente a essa reta:

• duas retas distintas concorrentes:

• duas retas paralelas distintas:

Posições relativas de reta e plano

      Vamos considerar as seguintes situações:

a) reta contida no plano

     Se uma reta r tem dois pontos distintos num plano , então r está contida nesse plano:

b) reta concorrente ou incidente ao plano

    Dizemos que a reta r "fura" o plano  ou que r e  são concorrentes em P quando .

Observação: A reta r é reversa a todas as retas do plano que não passam pelo ponto P.

c) reta paralela ao plano

    Se uma reta r e um plano  não têm ponto em comum, então a reta r é paralela a uma retat contida no plano ; portanto, r // 

Em  existem infinitas retas paralelas, reversas ou ortogonais a r.

P₁₁) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua intersecção é dada por uma única reta que passa por esse ponto.

Perpendicularismo entre reta e plano

         Uma reta r é perpendicular a um plano  se, e somente se, r é perpendicular a todas as retas de  que passam pelo ponto de intersecção de r e .

Note que:

• se uma reta r é perpendicular a um plano , então ela é perpendicular ou ortogonal a toda reta de :

• para que uma reta r seja perpendicular a um plano , basta ser perpendicular a duas retas concorrentes, contidas em :

Observe, na figura abaixo, por que não basta que r seja perpendicular a uma única reta t de para que seja perpendicular ao plano:

Posições relativas de dois planos

          Consideramos as seguintes situações:

a) planos coincidentes ou iguais

b) planos concorrentes ou secantes

     Dois planos, , são concorrentes quando sua intersecção é uma única reta:

c) planos paralelo

    Dois planos, , são paralelos quando sua intersecção é vazia:

 Perpendicularismo entre planos

     Dois planos, , são perpendiculares se, e somente se, existe uma reta de um deles que é perpendicular ao outro:

Observação: Existem infinitos planos perpendiculares a um plano dado; esses planos podem ser paralelos entre si ou secantes.

Projeção ortogonal

     A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano  é a intersecção do plano com a reta perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P:

      A projeção ortogonal de uma figura geométrica F ( qualquer conjunto de pontos) sobre um plano  é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de F sobre :

Distâncias

Ângulos

Observações:

Diedros, triedos, poliedros

Diedros

      Dois semiplanos não-coplanares, com origem numa mesma reta, determinam uma figura geométrica chamada ângulo diédrico, ou simplesmente diedro:

Triedos

         Três semi-retas não-coplanares, com origem num mesmo ponto, determinam três ângulos que formam uma figura geométrica chamada ângulo triédrico, ou simplesmente triedro:

Ângulo poliédrico

      Sejam  n  semi-retas de mesma origem tais que nunca fiquem três num mesmo semiplano. Essas semi-retas determinam n ângulos em que o plano de cada um deixa as outras semi-retas em um mesmo semi-espaço. A figura formada por esses ângulos é o ângulo poliédrico.

Poliedros

      Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:

      Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.
   

Poliedros convexos e côncavos

      Observando os poliedros acima, podemos notar que, considerando qualquer uma de suas faces, os poliedros encontram-se inteiramente no mesmo semi-espaço que essa face determina. Assim, esses poliedros são denominados convexos.

        Isso não acontece no último poliedro, pois, em relação a duas de suas faces, ele não está contido apenas em um semi-espaço. Portanto, ele é denominado côncavo.
   

Classificação

      Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo:

• tetraedro: quatro faces
• pentaedro: cinco faces
• hexaedro: seis faces
• heptaedro: sete faces
• octaedro: oito faces
• icosaedro: vinte faces

Poliedros regulares

      Um poliedro convexo é chamado de regular se suas faces são polígonos regulares, cada um com o mesmo número de lados e, para todo vértice, converge um mesmo número de arestas.

       Existem cinco poliedros regulares:

Relação de Euler

      Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:

V - A + F = 2

em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces.

Observe os exemplos:

Poliedros platônicos

      Diz-se que um poliedro é platônico se, e somente se:

a) for convexo;

b) em todo vértice concorrer o mesmo número de arestas;

c) toda face tiver o mesmo número de arestas;

d) for válida a relação de Euler.

       Assim, nas figuras acima, o  primeiro poliedro é platônico e o segundo, não-platônico.

Prismas

       Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos, , um polígono convexo Rcontido em  e uma reta r que intercepta , mas não R:

      Para cada ponto P da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à reta r :

      Assim, temos:

      Chamamos de prisma ou prisma limitado o conjunto de todos os segmentos congruentes  paralelos a r.

Elementos do prisma

      Dados o prisma a seguir, consideramos os seguintes elementos:

• bases:as regiões poligonais R e S
• altura:a distância h entre os planos 
• arestas das bases:os lados  ( dos polígonos)
• arestas laterais:os segmentos 
• faces laterais: os paralelogramos AA'BB', BB'C'C, CC'D'D, DD'E'E, EE'A'A

Classificação

      Um prisma pode ser:

• reto: quando as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases;
• oblíquo: quando as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

Veja:

Observação: As faces de um prisma regular são retângulos congruentes.

Secção

      Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele uma região chamada secção do prisma.

        Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases ( figura 1). Todas as secções transversais são congruentes ( figura 2).

Áreas

      Num prisma, distinguimos dois tipos de superfície:as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas:

a) área de uma face (A_F ):área de um dos paralelogramos que constituem as faces;

b) área lateral ( A_L ):soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces do prisma.

      No prisma regular, temos:

A_L = n . A_F (n = número de lados do polígono da base)

c) área da base (A_B): área de um dos polígonos das bases;

d) área total ( A_T): soma da área lateral com a área das bases

A_T = A_L + 2A_B

      Vejamos um exemplo.

      Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:

Paralelepípedo

      Todo prisma cujas bases são paralelogramos recebe o nome de paralelepípedo.Assim, podemos ter:

         Se o paralelepípedo  reto tem bases retangulares, ele é chamado de paralelepípedo reto-retângulo,ortoedro ou paralelepípedo retângulo.

Paralelepípedo retângulo

      Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:

      Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro arestas de medidac; as arestas indicadas pela mesma letra são paralelas.

Diagonais da base e do paralelepípedo

      Considere a figura a seguir:

      Na base ABFE, temos:

         No triângulo AFD, temos:

Área lateral

      Sendo A_L a área lateral de um paralelepípedo retângulo, temos:

A_L= ac + bc + ac + bc = 2ac + 2bc =A_L = 2(ac + bc)

   
Área total

      Planificando o paralelepípedo, verificamos que a área total é a soma das áreas de cada par de faces opostas:

Volume

      Por definição, unidade de volume é um cubo de aresta 1. Assim, considerando um paralelepípedo de dimensões 4, 2 e 2, podemos decompô-lo em 4 . 2 . 2 cubos de aresta 1:

      Então, o volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c é dado por:

V = abc

      Como o produto de duas dimensões resulta sempre na área de uma face e como qualquer face pode ser considerada como base, podemos dizer que o volume do paralelepípedo retângulo é o produto da área da base A_B pela medida da altura h:

Cubo

      Um paralelepípedo retângulo com todas as arestas congruentes ( a= b = c) recebe o nome de cubo. Dessa forma, as seis faces são quadrados.

Diagonais da base e do cubo

      Considere a figura a seguir:

     Na base ABCD, temos:

  No triângulo ACE, temos:

Área lateral

      A área lateral A_L é dada pela área dos quadrados de lado a:

Área total

      A área total A_T é dada pela área dos seis quadrados de lado a:

Volume

      De forma semelhante ao paralelepípedo retângulo, o volume de um cubo de aresta a é dado por:

V= a . a . a = a³

Generalização do volume de um prisma

      Para obter o volume de um prisma, vamos usar o princípio de Cavalieri ( matemático italiano, 1598 - 1697), que generaliza o conceito de volume para sólidos diversos.

      Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano, paralelo a , intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:

        Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V₂ = A_Bh.

       Assim, o volume de todo prisma e de todo paralelepípedo é o produto da área da base pela medida da altura:

Cilindro

      Na figura abaixo, temos dois planos paralelos e distintos,, um círculo R contido em  e uma reta r que intercepta , mas não R:

      Para cada ponto C da região R, vamos considerar o segmento , paralelo à reta r :

      Assim, temos:

      Chamamos de cilindro, ou cilindro circular, o conjunto de todos os segmentos congruentes e paralelos a r.

   
Elementos do cilindro

      Dado o cilindro a seguir, consideramos os seguintes elementos:

• bases: os círculos de centro O e O'e raios r
• altura: a distância h entre os planos 
• geratriz: qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunferências das bases ( por exemplo, ) e paralelo à reta r

Classificação do Cilindro

      Um cilindro pode ser:

• circular oblíquo: quando as geratrizes são oblíquas às bases;
• circular reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases.

      Veja:

      O cilindro circular reto é também chamado de cilindro de revolução, por ser gerado pela rotação completa de um retângulo por um de seus lados. Assim, a rotação do retângulo ABCD pelo lado  gera o cilindro a seguir:

      A reta  contém os centros das bases e é o eixo do cilindro.

Secção

      Secção transversal é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases. Todas as secções transversais são congruentes.

      Secção meridiana é a região determinada pela intersecção do cilindro com um plano que contém o eixo.

Áreas

      Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:

a) área lateral (A_L)

     Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:

      Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo de dimensões :

b) área da base ( A_B):área do círculo de raio r

c) área total ( A_T): soma da área lateral com as áreas das bases

 Volume

      Para obter o volume do cilindro, vamos usar novamente o princípio de Cavalieri.

       Dados dois sólidos com mesma altura e um plano , se todo plano , paralelo ao plano , intercepta os sólidos e determina secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:

         Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V₂ = A_Bh.

         Assim, o volume de todo paralelepípedo retângulo e de todo cilindro é o produto da área da base pela medida de sua altura:

          No caso do cilindro circular reto, a área da base é a área do círculo de raio r ;

portanto seu volume é:

Cilindro eqüilátero

      Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro eqüilátero.

:

Cone circular

      Dado um círculo C, contido num plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos decone circular o conjunto de todos os segmentos .

Elementos do cone circular

      Dado o cone a seguir, consideramos os seguintes elementos:

• altura: distância h do vértice V ao plano 
• geratriz (g):segmento com uma extremidade no ponto V e outra num ponto da circunferência
• raio da base: raio R do círculo
• eixo de rotação:reta determinada pelo centro do círculo e pelo vértice do cone

Cone reto

      Todo cone cujo eixo de rotação é perpendicular à base é chamado cone reto, também denominado cone de revolução. Ele pode ser gerado pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

      Da figura, e pelo Teorema de Pitágoras, temos a seguinte relação:

Secção meridiana

      A secção determinada, num cone de revolução, por um plano que contém o eixo de rotação é chamada secção meridiana.

      Se o triângulo AVB for eqüilátero, o cone também será eqüilátero:

Áreas

  Desenvolvendo a superfície lateral de um cone circular reto, obtemos um setor circular de raiog e comprimento :

          Assim, temos de considerar as seguintes áreas:

a) área lateral (A_L): área do setor circular

b) área da base (A_B):área do circulo do raio R

c) área total (A_T):soma da área lateral com a área da base

Volume

       Para determinar o volume do cone, vamos ver como calcular volumes de sólidos de revolução. Observe a figura:

         Sabemos, pelo Teorema de Pappus - Guldin, que, quando uma superfície gira em torno de um eixo e, gera um volume tal que:

         Vamos, então, determinar o volume do cone de revolução gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno do cateto h:

        O CG do triângulo está a uma distância   do eixo de rotação. Logo:

Pirâmides

      Dados um polígono convexo R, contido em um plano , e um ponto V ( vértice) fora de , chamamos  de pirâmide o conjunto de todos os segmentos .

Elementos da pirâmide

        Dada a pirâmide a seguir, temos os seguintes elementos:

• base: o polígono convexo R
• arestas da base: os lados  do polígono
• arestas laterais: os segmentos 
• faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA
• altura: distância h do ponto V ao plano

Classificação

      Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com o centro do polígono da base.

        Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc., conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero, um pentágono etc.

        Veja:

Observações:

1ª) Toda pirâmide triangular recebe o nome do tetraedro. Quando o tetraedro possui como faces triângulos eqüiláteros, ele é denominado regular ( todas as faces e todas as arestas são congruentes).

2ª) A reunião, base com base, de duas pirâmides regulares de bases quadradas resulta num octaedro. Quando as faces das pirâmides são triângulos eqüiláteros, o octaedro é regular.

Secção paralela à base de uma pirâmide

        Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determina uma secção poligonal de modo que:

• as arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão;
• a secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;
• as áreas desses polígonos estejam entre si assim como os quadrados de suas distâncias ao vértice.

Relações entre os elementos de uma pirâmide regular

      Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal, de aresta lateral l e aresta da base a:

    Assim, temos:

•  A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de raio OB = R.

• A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.

• Os triângulos VOB e VOM são retângulos.

Áreas

Numa pirâmide, temos as seguintes áreas:

a) área lateral ( A_L): reunião das áreas das faces laterais

b) área da base ( A_B): área do polígono convexo ( base da pirâmide)

c) área total (A_T): união da área lateral com a área da base

A_T = A_L +A_B

        Para uma pirâmide regular, temos:

em que:

Volume

        O princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes possuem volumes iguais:

Troncos

          Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases, o plano dividirá cada um desses sólidos em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um novo cone e um tronco de cone.

          Vamos estudar os troncos.

Tronco da pirâmide

      Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos:

• as bases são polígonos regulares paralelos e semelhantes;
• as faces laterais são trapézios isósceles congruentes.

Áreas

      Temos as seguintes áreas:

a) área lateral (A_L): soma das áreas dos trapézios isósceles congruentes que formam as faces laterais

b) área total (A_T): soma da área lateral com a soma das áreas da base menor (A_b) e maior (A_B)

_Volume

     O volume de um tronco de pirâmide regular é dado por:

        Sendo V o volume da pirâmide e V' o volume da pirâmide obtido pela secção é válida a relação:

Tronco do cone

      Sendo o tronco do cone circular regular a seguir, temos:

• as bases maior e menor são paralelas;
• a altura do tronco é dada pela distância entre os planos que contém as bases.

Áreas

      Temos:

a) área lateral

b) área total

Volume

       Sendo V o volume do cone e V' o volume do cone obtido pela secção são válidas as relações:

Esfera

   Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.

     Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.

Volume

   O volume da esfera de raio R  é dado por:

Partes da esfera

Superfície esférica

   A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R.

   Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.

        A área da superfície esférica é dada por:

Zona esférica

   É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

    A área da zona esférica é dada por:

Calota esférica

   É a parte da esfera gerada do seguinte modo:

    Ä área da calota esférica é dada por:

Fuso esférico

   O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência de um ângulo em torno de seu eixo:

   A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples:

Cunha esférica

   Parte da esfera que se obtém ao girar um semicírculo em torno de seu eixo de um ângulo :

    O volume da cunha pode ser obtido por uma regra de três simples:

Introdução

• Trigonometria: vocábulo criado em 1595 pelo matemático alemão Bartholomaus Pitiscus (1561-1613), do grego trigonon (triângulo) e metron (medida).
• É claro que Hiparco (astrônomo e matemático grego (190 a.C. - 125 a. C.), considerado o pai da Trigonometria, ainda não usava esta terminologia.
• A Astronomia foi a grande impulsionadora da Trigonometria.
• O desconhecimento dos números negativos, que se popularizou apenas no século XVII, dificultou o desenvolvimento da Trigonometria.
• O documento mais antigo conhecido sobre o assunto, data-se do século II d.C. e denominou-se Almagesto, de autoria de Ptolomeu. (Cláudius Ptolemaeus astrônomo grego (90 - 168). 
  Afirma-se que Ptolomeu deixou o planeta Terra aos 78 anos.
  Este grande astrônomo grego acreditava que a Terra era o centro do Universo, ao redor da qual giravam Mercúrio, Lua, Vênus, Sol, Marte, Júpiter e Saturno, em órbitas que seriam círculos perfeitos! Sua concepção foi considerada válida até o século XVI, quando Nicolau Copérnico (astrônomo polonês - 1473/1543) a substituiu pela teoria heliocêntrica (válida até hoje) , referendada por Galileo Galilei (físico e astrônomo italiano - 1564/1642).
• Por enquanto, vamos ver apenas a definição de círculo trigonométrico, após o resumo histórico supra. Nos próximos textos, cuidaremos de desenvolver o resumo da teoria.

Chama-se Círculo Trigonométrico, ao círculo orientado de raio unitário, cujo centro é a origem do sistema de coordenadas cartesianas, conforme figura a seguir.

O círculo trigonométrico é orientado positivamente no sentido ABA’B’A. O sentido AB’A’BA é considerado negativo. Assim, o arco AB (ângulo reto) mede 90º e o arco AB’ mede -90º . O arco ABA’ (ângulo raso) mede 180º ( ou p radianos) e o arco AB’A’ mede (-180º).  
O arco de uma volta completa (ABA’B’A) mede 360º ; O arco AB’A’BA mede( -360º), ou seja, é um arco negativo. Já sabemos que 360º = 2p radianos.

Podemos na Trigonometria, considerar arcos de mais de uma volta. 
Sabendo que uma volta equivale a 360º , podemos facilmente reduzir qualquer arco à primeira volta. Por exemplo, o arco de 12350º , para reduzi-lo à primeira volta, basta dividi-lo por 360º (para eliminar as voltas completas) e considerar o resto da divisão. Assim é que, 12350º dividido por 360º, resulta no quociente 34 e no resto 110º. Este valor 110º é então trigonométricamente equivalente ao arco de 12350º e é denominado sua menor determinação positiva.

Dois arcos trigonométricos são ditos côngruos, quando a diferença entre eles é um número múltiplo de 360º . Assim é que sendo x e y dois arcos trigonométricos, eles serão côngruos se e somente se x - y = k . 360º , onde k é um número inteiro.
Portanto, para descobrir se dois arcos são côngruos, basta verificar se a diferença entre eles é um múltiplo de 360º (ou 2p radianos, pois 2p rad = 360º).
Os arcos 2780º e 1700º , por exemplo são côngruos , pois 
2780º - 1700º = 1080º e 1080º é divisível por 360º 
(1080º / 360º = 3 , com resto nulo). 

Exercício resolvido:

Quantos são os valores de m compreendidos entre 30 e 40, que tornam côngruos os arcos de medidas 
(4m+10).180º e (3m-2).180º ?

Solução: 

Pela definição de arcos côngruos dada acima, deveremos ter:

(4m+10).180º - (3m-2).180º = k . 360º , onde k é um número inteiro.
720m + 1800 -[540m - 360] = k . 360
720m + 1800 - 540m + 360 = k . 360
180m + 2160 = k . 360
180m = k . 360 - 2160
m = 2k - 12
Mas, pelo enunciado, temos 30 < m < 40. Logo:
30 < 2k - 12 < 40
42 < 2k < 52
21 < k < 26 Þ k = 22, 23, 24 ou 25. 
Existem 4 valores possíveis para k e, portanto, também 4 valores possíveis para m,
já que m = 2k - 12.

Resposta: m possui 4 (quatro)  valores distintos.

Testes  Verdadeiro - Falso

1 - Os arcos de 4200º e 3480º são côngruos
2 - Os arcos de (- 420º ) e 300º são côngruos.
3 - O arco de 10.002º pertence ao segundo quadrante.
4 - O arco de  (- 200º) pertence ao segundo quadrante.

Gabarito: 
1 - V 
2 - V 
3 - F
4 - V

Funções trigonométricas: seno, cosseno , tangente, cotangente, secante e cossecante.

Considere a figura abaixo, onde está representado um círculo trigonométrico (centro na origem e raio unitário). 
Da simples observação da figura, temos os seguintes pontos notáveis:
A(1;0) , B(0;1) , A’(-1;0) e B’(0;-1).

Definiremos os seguintes eixos:

A’A = eixo dos cossenos (variando no intervalo real de -1 a +1)
B’B = eixo dos senos (variando no intervalo real de -1 a +1)
AT = eixo das tangentes ® variando no intervalo real (-¥ , +¥ ).

Observe também que as coordenadas cartesianas do ponto U são:
 x₀ = abscissa   e   y₀ = ordenada, ou seja: U(x₀ , y₀).

Considere o arco trigonométrico AU de medida a. Nestas condições definimos:
1 - Seno do arco de medida a = ordenada do ponto U = y₀  e indicamos: sen a = y₀ .
2 - Cosseno do arco de medida a = abscissa do ponto U = x₀ e indicamos: cos a = x₀

Lembrando que o raio do círculo trigonométrico é igual a 1 (por definição), concluímos que o seno e o cosseno de um arco são números reais que variam no intervalo real de -1 a +1.

Da figura acima, podemos escrever: x₀² + y₀² = OU²; mas, OU = raio do círculo trigonométrico 
e portanto vale 1. 
Daí vem a seguinte relação entre o seno e o cosseno de um arco, já que x₀ = cos a e y₀ = sen a :
sen²a + cos²a = 1  , denominada relação fundamental da Trigonometria.

Observando ainda a figura acima e considerando os sinais das ordenadas e das abscissa ou seja, sinais do seno e do cosseno, podemos concluir que o seno é positivo para os arcos compreendidos entre 0º e 180º  (1º e 2º quadrantes) e negativo para os arcos compreendidos entre 180º e 360º (3º e 4º quadrantes).

Já para o cosseno, usando a mesma consideração anterior, concluímos que o cosseno é positivo para os arcos compreendidos entre 0º e 90º (1º quadrante) e para os arcos compreendidos entre 270º e 360º (4º quadrante) e,  negativo para os arcos compreendidos entre 90º e 180º (2º quadrante) e para os arcos compreendidos entre 180º e 270º (3º quadrante).

Valores notáveis do seno e cosseno:

sen 0º = sen 180º = cos 90º = cos 270º = 0
sen 90º = cos 0º = cos 360º = 1
sen 270º = cos 180º = -1

Ainda na figura anterior, observe o segmento AT. 
O comprimento deste segmento, é por definição, a tangente do arco AU de medida a. 
Indicamos isto escrevendo tg a = AT. 
A escala adotada no eixo das tangentes é a mesma dos eixos das abscissa e das ordenadas.

Pela semelhança dos triângulos Ox₀U e OAT, podemos escrever:

 ; 
mas como y₀ = sen a, x₀ = cos a, AT = tg a e OA = 1, vem:

 
para cos a ¹ 0.

Nota: para saber o sinal da tangente nos 4 quadrantes, basta usar a regra de sinais da divisão, já que a tangente é simplesmente o quociente do seno pelo cosseno, cujos sinais nos quadrantes já conhecemos.
 
Somente como exemplo, como o seno e o cosseno são negativos no 3º quadrante, sendo a tangente o quociente entre eles, concluímos que neste quadrante, a tangente será positiva, pois menos dividido por menos dá mais!

Os inversos multiplicativos do seno, cosseno e tangente, recebem designações particulares a saber:

1 - inverso do seno = cossecante (símbolo: cossec)
2 - inverso do cosseno = secante (símbolo: sec) 
3 - inverso da tangente = cotangente (símbolo: cotg )

Assim, sendo a um arco trigonométrico, poderemos escrever:

 
para sen a ¹ 0.

 
para cos a ¹ 0.

 
para sen a ¹ 0.

Exercícios Resolvidos

1. Qual o valor máximo da função y = 10 + 5 cos 20x ?

Solução: 
O valor máximo da função ocorre quando o fator cos20x é máximo, isto é, quando cos 20x = 1. Logo, o valor máximo da função será y = 10 + 5.1 = 15.

2. Qual o valor mínimo da função y = 3 + 5 sen 2x?

Solução: 
O valor mínimo da função ocorre quando o fator sen2x é mínimo, isto é, quando sen2x = -1. 
Logo, o valor mínimo da função será y = 3 + 5(-1) = - 2 .

3. Qual o valor máximo da função ? 
Solução: 
A função terá valor máximo, quando o denominador tiver valor mínimo. Para que o denominador seja mínimo, deveremos ter cos 20x = 1  
y = 10 / (6 - 2.1) = 10 / 4 = 5/2.
Portanto, o valor máximo da função é 5/2.

Qual seria o valor mínimo da mesma função?
Resposta: 5/4

4. Para que valores de m a equação sen 30x = m - 1 tem solução?

Solução: 
Ora, o seno de qualquer arco, é sempre um número real pertencente ao intervalo fechado [-1,1]. Logo, deveremos ter: -1 £ m -1 £ 1  0 £ m £ 2.

Agora calcule:

a) o valor mínimo da função y = 2 + 9sen4x. 
b) o valor máximo da função y = 10 - cosx . 
c) o valor de y = sen 180º - cos270º  
d) o valor de y = cos 180º - sen 270º  
e) o valor de y = cos(360.k) + sen(360.k), para k inteiro. 

Respostas: a) - 7  b) 11  c) 0   d) 0  e) 1

Fórmulas derivadas das fundamentais

Já sabemos as cinco fórmulas fundamentais da Trigonometria, a saber:
Dado um arco trigonométrico x , temos:

Fórmula I: Relação Fundamental da Trigonometria.

sen²x + cos²x = 1 
[o mesmo que (senx)² + (cosx)² = 1]

Fórmula II: Tangente.

Fórmula III: Cotangente.

Fórmula IV: Secante.

Fórmula V: Cossecante.

Nota: considere nas fórmulas acima, a impossibilidade absoluta da divisão por ZERO.
Assim, por exemplo, se cosx = 0, não existe a secante de x ; se sen x = 0, não existe a cosec x, ...

Para deduzir duas outras fórmulas muito importantes da Trigonometria, vamos partir da Fórmula I acima, inicialmente dividindo ambos os membros por cos² x¹ 0.
Teremos:

Das fórmulas anteriores, concluiremos inevitavelmente a seguinte fórmula que relaciona a tangente e a secante de um arco trigonométrico x:
tg²x + 1 = sec²x

Se ao invés de dividirmos por cos²x, dividíssemos ambos os membros por sen²x, chegaríamos a:
cotg²x + 1 = cosec²x

As duas fórmulas anteriores, são muito importantes para a solução de exercícios que comparecem nos vestibulares, e merece por isto, uma memorização. Aliás, as sete fórmulas anteriores, têm necessariamente de ser memorizadas, e isto é apenas o início! A Trigonometria, infelizmente, depende de memorizações de fórmulas, mas, se você souber deduzi-las, como estamos tentando mostrar aqui, as coisas ficarão muito mais fáceis! Portanto, fique tranqüilo(a).

1 - Simplifique a expressão a seguir:

Solução:

Das aulas anteriores, poderemos escrever:

2 - Sendo x um arco tal que cosx = tgx , calcule senx.

Solução:
 
Sabemos que tgx = senx / cosx. 
Substituindo tgx por cosx (dado do problema), vem: 
cosx = senx / cosx donde vem: cos²x = senx. Mas,
cos²x = 1 - sen²x . 
Substituindo, fica: 1 - sen²x = senx.
Daí, vem: sen²x + senx - 1 = 0
Fazendo senx = y e substituindo: y² + y - 1 = 0.
Resolvendo esta equação do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara, fica:

Como y = senx, somos tentados a dizer que existem dois valores para senx, dados pela igualdade acima. Lembre-se porém que o seno de um arco é um número que pode variar 
de -1 a +1. Portanto, somente um dos valores acima satisfaz o problema ou seja:

 que é a resposta procurada.

3 - Para que valor de m a expressão
y = (m - 1)(sen⁴x - cos⁴x) + 2cos²x + m.cosx - 2.cosx + 1 é independente de x?

Solução:

Podemos escrever:
y = (m - 1)[(sen²x - cos²x)(sen²x + cos²x)] + 2cos²x + mcosx - 2cosx + 1
Como sen²x + cos²x = 1, substituindo, fica:
y = (m - 1)(sen²x - cos²x) + 2cos²x + mcosx - 2cosx + 1
y = msen²x - mcos²x - sen²x + cos²x + 2cos²x + mcosx - 2cosx + 1
Escrevendo tudo em função de cosx, lembrando que sen²x = 1 - cos²x, vem:
y = m(1 - cos²x) - mcos²x - (1 - cos²x) + cos²x + 2cos²x + mcosx - 2cosx + 1
y = m - mcos²x - mcos²x - 1 + cos²x + cos²x + 2cos²x + mcosx - 2cosx + 1
Simplificando os termos semelhantes, fica:
y = m + (4 - 2m)cos²x + (m - 2)cosx
Para que a expressão acima seja independente de x, deveremos ter necessariamente 4 - 2m = 0 e m - 2 = 0 
 m = 2, que é a resposta procurada.

4 - Agora resolva você mesmo:
 
Para que valor de m a expressão
y = m(sen⁴x - cos⁴x) + 2cos²x - 1 + m é independente de x?
Resposta: m = 1

5 - Sabendo que senx + cosx = m, calcule (m² - 1)y      sendo y dado pela expressão:

Resposta: m(3 - m²).

Sugestão: Eleve ambos os membros da igualdade dada ao cubo, ou seja:
(senx + cosx)³ = m³ , lembrando que (a+b)³ = a³ + b³ + 3(a+b).ab.
Eleve também ambos os membros da expressão dada ao quadrado, ou seja:
(senx + cosx)² = m² , lembrando que (a+b)² = a² + 2ab + b².

Cosseno da diferença de arcos

Dedução da fórmula

Considere a figura abaixo que representa uma circunferência trigonométrica (centro na origem O(0,0) e raio unitário). Sejam a e b dois arcos trigonométricos com a > b.

Temos o arco PB de medida b e o arco PA de medida a. Nestas condições, podemos concluir que o arco BA tem medida a - b.
Pelo teorema dos cossenos, sabemos que em qualquer triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses lados, pelo cosseno do ângulo que eles formam. 

Assim, na figura acima, poderemos escrever, pelo teorema dos cossenos, para o triângulo OAB:
AB² = OB² + OA² - 2. OB . OA . cos(a - b). (Equação 1)
Ora, OB = OA = 1 (raio do círculo trigonométrico, portanto, unitário).
AB = distancia entre os pontos A(cosa,sena) e B(cosb,senb).
Já vimos neste site, a fórmula da distancia entre dois pontos; caso você não se lembre, revise.
Assim, substituindo os elementos conhecidos na fórmula acima (equação 1), vem:
(cosa - cosb)² + (sena - senb)² = 1² + 1² - 2.1.1.cos(a -b)
Desenvolvendo, vem:
cos²a - 2.cosa.cosb + cos²b + sen²a - 2.sena.senb + sen²b = 2 - 2cos(a - b)
Lembrando que cos²a + sen²a = cos²b + sen²b = 1 (Relação Fundamental da Trigonometria), vem, substituindo:
1 + 1 - 2cosacosb - 2senasenb = 2 - 2cos(a - b)
Simplificando, fica:
-2[cosacosb + senasenb] = -2.cos(a - b)
Donde finalmente podemos escrever a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos a e b:

cos(a - b) = cosa . cosb + sena . senb

Exemplo: cos(x - 90º) = cosx . cos90º + senx . sen90º
Ora, como já sabemos que cos90º = 0 e sen90º = 1, substituindo, vem finalmente:

cos(x - 90º) = senx.

Se fizermos a = 0º na fórmula do cosseno da diferença, teremos:
cos(0 - b) = cos0 . cosb + sen0 . senb
E como sabemos que cos0 = 1 e sen0 = 0, substituindo, fica:

cos(- b) = cosb

Portanto:
cos( - 60º ) = cos60º = 1/2, cos( - 90º) = cos90º = 0, cos ( -180º) = cos 180º = -1, etc.
Se considerarmos a função y = cosx , como cos( - x ) = cosx , diremos então que a função cosseno é uma função par. Reveja o capítulo de funções.

Para finalizar, tente simplificar a seguinte expressão:
y = cos(x - 90º) - cos(x - 270º).
Resposta: 2senx

Adição e subtração de arcos

1. Vimos em Trigonometria V, a dedução da fórmula do cosseno da diferença de dois arcos. Apresentaremos a seguir, as demais fórmulas da adição e subtração de arcos sem as deduções, lembrando que essas deduções seriam similares àquela desenvolvida para cos(a – b), com certas peculiaridades inerentes a cada caso.

2. Sejam a e b dois arcos trigonométricos.
 
São válidas as seguintes fórmulas, que devem ser memorizadas! Repito aqui, que uma das aparentes dificuldades da Trigonometria é essa necessidade imperiosa de memorização de fórmulas. Entretanto, a não memorização levaria a perda de tempo para deduzi-las durante as provas, o que tornaria a situação impraticável. Talvez, a melhor solução seria aquela em que os examinadores que elaboram os exames vestibulares inserissem como anexo de toda prova, um resumo das fórmulas necessárias à sua resolução, exigindo do candidato, apenas o conhecimento e o raciocínio necessários para manipulá-las algébricamente e, aí sim teria sido feito justiça! Fica a sugestão aos professores!.

Eis as fórmulas, já conhecidas de vocês, assim espero.

cos(a – b) = cosa . cosb + sena . senb
cos(a + b) = cosa . cosb – sena . senb
sen(a – b) = sena . cosb – senb . cosa
sen(a + b) = sena . cosb + senb . cosa

Nota: nas duas fórmulas da tangente, sempre leve em conta a absoluta impossibilidade da divisão por zero!
Fazendo a = b nas fórmulas da soma, vem:
sen2a = 2sena . cosa
cos2a = cos²a – sen²a = 2cos²a – 1 = 1 – 2.sen²a

1 - Multiplicação de arcos 

Problema: Conhecendo-se as funções trigonométricas de um arco a , determinar as funções trigonométricas do arco n.a onde n é um número inteiro maior ou igual a 2. 
Usaremos as fórmulas das funções trigonométricas da soma de arcos para deduzi-las.

1.1 -  Seno e cosseno do dobro de um arco

Sabemos das aulas anteriores que sen(a + b) = sen a .cos b + sen b. cos a. Logo, fazendo a = b, obteremos a fórmula do seno do dobro do arco ou do arco duplo:
sen 2a = 2 . sen a . cos a
Analogamente, usando a fórmula do cosseno da soma, que sabemos ser igual a 
cos(a + b) = cos a . cos b - sen a .sen b 
e fazendo a = b, obteremos a fórmula do cosseno do dobro do arco ou do arco duplo:
cos 2a = cos²a - sen²a

Da mesma forma, partindo da tangente da soma, obteremos analogamente a fórmula da tangente do dobro do arco ou do arco duplo:

A fórmula acima somente é válida para tga ¹ 1 e tga ¹ -1, já que nestes casos o denominador seria nulo! Lembre-se do 11º mandamento! NÃO DIVIDIRÁS POR ZERO! Sabemos que a divisão por zero não é possível. Imagine dividir 2 chocolates por zero pessoas!!!

Exemplos:

sen4x = 2.sen2x.cos2x
senx = 2.sen(x/2).cos(x/2)
cosx = cos²(x/2) - sen²(x/2)
cos4x = cos²2x - sen²2x, ... , etc.

2 - Divisão de arcos
Vamos agora achar as funções trigonométricas da metade de um arco, partindo das anteriores.

2.1 - Cosseno do arco metade
Ora, sabemos que cos2a = cos²a - sen²a
Substituindo sen²a, por 1 - cos²a, já que sen²a + cos²a = 1, vem:
cos2a = 2.cos²a - 1. Daí, vem:
cos²a = (1+cos2a) / 2
Fazendo a = x/2, vem, cos²(x/2) = [1+cosx]/2.
Podemos escrever então a fórmula do cosseno do arco metade como:

Obs: o sinal algébrico vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2.

2.2 - Seno do arco metade
Podemos escrever: cos2a = (1-sen²a) - sen²a = 1 - 2sen²a
Daí vem: sen²a = (1 - cos2a)/2
Fazendo a = x/2 , vem: sen²(x/2) = (1 - cosx) / 2.
Podemos escrever então, a fórmula do seno do arco metade como segue:

Obs: o sinal algébrico vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2.

2.3 - Tangente do arco metade
Dividindo membro a membro as equações 2.1 e 2.2 anteriores, lembrando que 
tg(x/2) = sen(x/2) / cos(x/2), vem:

Obs: o sinal algébrico vai depender do quadrante ao qual pertence o arco x/2.

Exercício resolvido
Simplifique a expressão y = cossec2a - cotg2a

Solução:
Sabemos que cossec2a = 1 / sen2a e cotg2a = cos2a / sen2a . Logo,
y = (1/sen2a) - (cos2a/sen2a)
Simplificando, vem: y = (1 - cos2a) / sen2a . Portanto,

Portanto, cossec2a - cotg2a = tga.
Lembre-se que 1 - cos²a = sen²a.
Somente a título de ilustração, vamos ler a expressão resultado: A cossecante do dobro de um arco subtraída da cotangente do dobro do mesmo arco é igual à tangente do arco. Aqui pra nós: a linguagem simbólica não é muito mais fácil?

3 - Transformação de somas em produto

Vamos deduzir outras fórmulas importantes da Trigonometria.
As fórmulas a seguir são muito importantes para a simplificação de expressões trigonométricas.

Já sabemos que:
sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a
Somando membro a membro estas igualdades, obteremos:
sen(a + b)+ sen(a - b) = 2.sen a . cos b. 

Fazendo 
a + b = p 
a - b = q 
teremos, somando membro a membro:
2a = p + q, de onde tiramos a = (p + q) / 2
Agora, subtraindo membro a membro, fica:
2b = p - q, de onde tiramos  b = (p - q) / 2

Daí então, podemos escrever a seguinte fórmula:

Exemplo: sen50º + sen40º = 2.sen45º.cos5º

Analogamente, obteríamos as seguintes fórmulas:

Exemplos:

cos 30º + cos 10º = 2.cos20º.cos10º
cos 60º - cos 40º = -2.sen50º.sen10º
sen 70º - sen 30º = 2.sen20º.cos50º.

Exercícios Resolvidos

1) Se sen3x + senx = cos3x + cosx, então:
a) senx = 0
b) cosx = 0
c) tgx = 1
d) sen2x = 1
e) tg2x = 1

Solução: 
Vamos usar as fórmulas de transformação em produto, vistas na aula anterior. Reveja as fórmulas se necessário, em Trigonometria VII.

Teremos:

Simplificando, vem:
2.sen2x.cosx = 2.cos2x.cosx. Ora, daí vem, simplificando:
sen2x = cos2x e, portanto, sen2x / cos2x = 1 Þ tg2x =1.
Portanto a igualdade dada equivale à igualdade tg2x = 1. Logo, letra E.
Nota: Lembre-se que sen h / cos h = tg h.

2) Determine o período da função y = sen20x.cos10x + sen10x.cos20x.

Solução:
 
Sabemos que sena.cosb+senb.cosa = sen(a+b). 
Logo,
sen20x.cos10x+sen10x.cos20x = sen(20x+10x) = sen30x
Portanto, a função dada é equivalente a y = sen30x.
Mas, o período de uma função da forma y = senbx é dado por T = 2p / b.
Logo, o período da função dada será: T = 2p / 30 = p /15 radianos.
Resposta: o período da função é igual p /15 rad.

3) Qual o valor máximo da função y = f(x) definida por:

Solução:
 
Sabemos que cosx.cos4x - senx.sen4x = cos(x+4x) = cos5x
Para concluir isto, basta lembrar da fórmula do cosseno da soma!
Portanto, podemos escrever:

Para que y seja MÁXIMO, devemos ter 100+cos5x = MÍNIMO.
É claro que isto ocorrerá para cos5x = -1.
Logo, o valor máximo da função será: y = 100 / (100 - 1) = 100/99.

Resposta: 100/99.

4) Seja dada a função y = f(x), definida por:

Nestas condições, pede-se calcular o valor de y = f(p /17).

Solução:

Vamos transformar em produto o denominador da função:

Mas, cos13x = cos(17x - 4x) = cos17x.cos4x + sen17x.sen4x.
Como x = p /17, vem imediatamente que 17x = p . Logo, substituindo vem:
cos13x = cosp .cos4x + senp .sen4x = -1.cos4x + 0.sen4x = - cos4x
Já que cos13x = - cos4x , para x = p /17, substituindo, vem finalmente:
y = - cos4x / (2.cos4x) = -1/2.

Resposta: y = - 1/2.

Período das funções trigonométricas

Considere uma função y = f(x) de domínio D. Seja x Î D um elemento do domínio da função f. Consideremos um elemento p Î D.
 
Se f(x+p) = f(x) para todo x Î D, dizemos que a função f é periódica. 

Ao menor valor positivo de p , denominamos período da função f.

Complicado?  Não! 
Veja o exemplo abaixo:

Seja y = f(x) = senx
Temos que f(x+2p ) = sen(x+2p ) = senx.cos2p + sen2p .cosx =senx .1 + 0.cosx = senx 
ou seja, f(x+2p ) = f(x).
Portanto, sen(x+2p ) = senx

Da definição acima, concluímos que o período da função y = senx é igual a 2p radianos.

Analogamente, concluiríamos que:
O período da função y = cosx é 2p radianos.
O período da função y = secx é 2p radianos.
O período da função y = cosecx é 2p radianos.
O período da função y = tgx é p radianos.
O período da função y = cotgx é p radianos.

As afirmações acima equivalem às seguintes afirmações:
cos(x+2p ) = cosx|
sec(x+2p ) = secx
cosec(x+2p ) = cosecx
tg(x+p ) = tgx
cotg(x+p ) = cotgx

De uma forma genérica, poderemos dizer que o período T da função
y = a+b.sen(rx + q)  
é dado por:

Observe que somente o coeficiente de x tem influencia para o cálculo do período da função.
A fórmula acima aplica-se também para o caso da função y = a + b.cos(rx+q).

No caso das funções y = a + b.tg(rx+q) ou y = a + b.cotg(rx+q) a fórmula a ser aplicada para o cálculo do período T é:

Exemplos:

Determine o período das seguintes funções trigonométricas:
a) y = sen(2x - 45º)
Resposta: T = 2p /2 = p radianos

b) y = 2.cos(3x+45º)
Resposta: T = 2p /3 rad = 120º . (Lembre-se que p rad = 180º).

c) y = 5 + 10.cos(p x + 2)
Resposta: T = 2p /p = 2 rad

d) y = tg(2x - p )
Resposta: T = p /2 rad

e) y = sen2x.cos4x + sen4x.cos2x
Resposta: A função pode ser escrita como y = sen(2x+4x) = sen6x
Logo, T = 2p /6 = p /3 rad ou 60º.

f) y = senx + cosx
Resposta: Antes de aplicar a fórmula do período, temos que transformar a soma do segundo membro, num produto. Logo,
y = senx + sen(90º - x)

Observe que sen(90º-x) = sen90º.cosx - senx.cos90º = cosx.
Logo, a função dada poderá ser escrita como, usando a fórmula de transformação da soma de senos em produto.

Portanto o período procurado será T = 2p /1 = 2p rad.

Agora resolva estes:

Determine o período das seguintes funções:
a) y = sen10x
Resposta: T = p /5 rad.

b) y = 1 + cos(2x+p /4)
Resposta: T = p rad.

c) y = sen(x/3) + cos(x/2)
Resposta: T = 12p rad.

POLINÔMIOS

• Definição

Uma função polinomial ou simplesmente polinômio, é toda função definida pela relação P(x)=a_nxⁿ + a_n-1.x^n-1 + a_n-2.x^n-2 + ... + a₂x² + a₁x+ a₀.

Onde:

a_n, a_n-1, a_n-2, ..., a₂, a₁, a₀ são números reais chamados coeficientes.

n Î IN

x Î C (n^os complexos) é a variável.

GRAU DE UM POLINÔMIO:

Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Se o coeficiente a_n¹0, então o expoente máximo n é dito grau do polinômio e indicamos gr(P)=n. Exemplos:

a)     P(x)=5 ou P(x)=5.x⁰ é um polinômio constante, ou seja, gr(P)=0.

b)    P(x)=3x+5 é um polinômio do 1º grau, isto é, gr(P)=1.

c)     P(x)=4x⁵+7x⁴ é um polinômio do 5º grau, ou seja, gr(P)=5.

Obs: Se P(x)=0, não se define o grau do polinômio.

• Valor numérico

O valor numérico de um polinômio P(x) para x=a, é o número que se obtém substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela relação que define o polinômio. Exemplo:

Se P(x)=x³+2x²+x-4, o valor numérico de P(x), para x=2, é:

P(x)= x³+2x²+x-4

P(2)= 2³+2.2²+2-4

P(2)= 14

Observação: Se P(a)=0, o número a chamado raiz ou zero de P(x).

Por exemplo, no polinômio P(x)=x²-3x+2 temos P(1)=0; logo, 1 é raiz ou zero desse polinômio.

Alguns exercícios resolvidos:

1º) Sabendo-se que –3 é raiz de P(x)=x³+4x²-ax+1, calcular o valor de a.

Resolução: Se –3 é raiz de P(x), então P(-3)=0.

P(-3)=0  => (-3)³+4(-3)²-a.(-3)+1 = 0

3a = -10  =>  a=-10/3

Resposta: a=-10/3

2º) Calcular m Î IR para que o polinômio

P(x)=(m²-1)x³+(m+1)x²-x+4 seja:

a) do 3ºgrau              b) do 2º grau                  c) do 1º grau

Resposta:

a)    para o polinômio ser do 3º grau, os coeficientes de x² e x³ devem ser diferentes de zero. Então:

m²-1¹0  =>  m²¹1  => m¹1

m+1¹0  => m¹-1

Portanto, o polinômio é do 3º grau se m¹1 e m¹-1.

b)    para o polinômio ser do 2º grau, o coeficiente de x³ deve ser igual a zero e o coeficiente de x² diferente de zero. Então:

m²-1=0  =>  m²=1  => m=±1

m+1¹0  => m¹-1

Portanto, o polinômio é do 2º grau se m=1.

c)     para o polinômio ser do 1º grau, os coeficientes de x² e x³ devem ser iguais a zero. Então:

m²-1=0  =>  m²=1  => m=±1

m+1=0  => m=-1

Portanto, o polinômio é do 1º grau se m=-1.

3º) Num polinômio P(x), do 3º grau, o coeficiente de x³ é 1. Se P(1)=P(2)=0 e P(3)=30, calcule o valor de P(-1).

Resolução:

Temos o polinômio: P(x)=x³+ax²+bx+c.

Precisamos encontrar os valores de a,b e c (coeficientes).

Vamos utilizar os dados fornecidos pelo enunciado do problema:

P(1)=0  => (1)³+a.(1)²+b(1)+c = 0  =>  1+a+b+c=0  => a+b+c=-1

P(2)=0  => (2)³+a.(2)²+b(2)+c = 0  =>  8+4a+2b+c=0  => 4a+2b+c=-8

P(3)=30  => (3)³+a.(3)²+b(3)+c = 30  =>  27+9a+3b+c=30  => 9a+3b+c=3

Temos um sistema de três variáveis:

Resolvendo esse sistema encontramos as soluções:

a=9,  b=-34,  c=24

Portanto o polinômio em questão é P(x)= x³+9x²-34x+24.

O problema pede P(-1):

P(-1)= (-1)³+9(-1)²-34(-1)+24  =>  P(-1)=-1+9+34+24

P(-1)= 66

Resposta: P(-1)= 66

• Polinômios iguais

Dizemos que dois polinômios A(x) e B(x) são iguais ou idênticos (e indicamos A(x)ºB(x)) quando assumem valores numéricos iguais para qualquer valor comum atribuído à variável x. A condição para que dois polinômios sejam iguais ou idênticos é que os coeficientes dos termos correspondentes sejam iguais.

Exemplo:

Calcular a,b e c, sabendo-se que x²-2x+1 º a(x²+x+1)+(bx+c)(x+1).

Resolução: Eliminando os parênteses e somando os termos semelhantes do segundo membro temos:

x²-2x+1 º ax²+ax+a+bx²+bx+cx+c

1x²-2x+1 º (a+b)x²+(a+b+c)x+(a+c)

Agora igualamos os coeficientes correspondentes:

Substituindo a 1ª equação na 2ª:

1+c = -2  =>  c=-3.

Colocando esse valor de c na 3ª equação, temos:

a-3=1  =>  a=4.

Colocando esse valor de a na 1ª equação, temos:

4+b=1  =>  b=-3.

Resposta: a=4, b=-3 e c=-3.

Obs: um polinômio é dito identicamente nulo se tem todos os seus coeficientes nulos.

• Divisão de polinômios

Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo.

Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x), que satisfaçam as duas condições abaixo:

1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x)

2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0

Nessa divisão:

P(x) é o dividendo.

D(x) é o divisor.

Q(x) é o quociente.

R(x) é o resto da divisão.

Obs: Quando temos R(x)=0 dizemos que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x).

Exemplo:

Determinar o quociente de P(x)=x⁴+x³-7x²+9x-1 por D(x)=x²+3x-2.

Resolução: Aplicando o método da chave, temos:

Verificamos que:

• Divisão de um polinômio por um binômio da forma ax+b

Vamos calcular o resto da divisão de P(x)=4x²-2x+3 por D(x)=2x-1.

Utilizando o método da chave temos:

Logo: R(x)=3

A raiz do divisor é 2x-1=0  => x=1/2.

Agora calculamos P(x) para x=1/2.

P(1/2) = 4(1/4) – 2(1/2) + 3

P(1/2) = 3

Observe que R(x) = 3 = P(1/2)

Portanto, mostramos que o resto da divisão de P(x) por D(x) é igual ao valor numérico de P(x) para x=1/2, isto é, a raiz do divisor.

• Teorema do resto

Note que –b/a é a raiz do divisor.

Exemplo: Calcule o resto da divisão de x²+5x-1 por x+1.

Resolução: Achamos a raiz do divisor:

x+1=0  =>  x=-1

Pelo teorema do resto sabemos que o resto é igual a P(-1):

P(-1)=(-1)²+5.(-1)-1  =>  P(-1) = -5 = R(x)

Resposta: R(x) = -5.

• Teorema de D’Alembert

Exemplo: Determinar o valor de p, para que o polinômio P(x)=2x³+5x²-px+2 seja divisível por x-2.

Resolução: Se P(x) é divisível por x-2, então P(2)=0.

     P(2)=0  =>  2.8+5.4-2p+2=0  =>  16+20-2p+2=0  =>  p=19

Resposta: p=19.

• Divisão de um polinômio pelo produto (x-a)(x-b)

Vamos resolver o seguinte problema: calcular o resto da divisão do polinômio P(x) pelo produto (x-a)(x-b), sabendo-se que os restos da divisão de P(x) por (x-a) e por (x-b) são, respectivamente, r₁ e r₂.

Temos:

a é a raiz do divisor x-a, portanto P(a)=r₁          (eq. 1)

b é a raiz do divisor x-b, portanto P(b)=r₂         (eq. 2)

E para o divisor (x-a)(x-b) temos P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + R(x)          (eq. 3)

O resto da divisão de P(x) por (x-a)(x-b) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo:

R(x)=cx+d

Da eq.3 vem:

P(x)=(x-a)(x-b) Q(x) + cx + d

Fazendo:

x=a  =>  P(a) = c(a)+d          (eq. 4)

x=b  =>  P(b) = c(b)+d          (eq. 5)

Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:

Resolvendo o sistema obtemos:

Observações:

1ª) Se P(x) for divisível por (x-a) e por (x-b), temos:

P(a)= r₁ =0

P(b)= r₂ =0

Portanto, P(x) é divisível pelo produto (x-a)(x-b), pois:

2ª) Generalizando, temos:

     Se P(x) é divisível por n fatores distintos (x-a₁), (x-a₂),..., (x-a_n) então P(x) é divisível pelo produto (x-a₁)(x-a₂)...(x-a_n).

Exemplo:

Um polinômio P(x) dividido por x dá resto 6 e dividido por (x-1) dá resto 8. Qual o resto da divisão de P(x) por x(x-1)?

Resolução:

0 é a raiz do divisor x, portanto P(0)=6          (eq. 1)

1 é a raiz do divisor x-1, portanto P(1)=8         (eq. 2)

E para o divisor x(x-1) temos P(x)=x(x-1) Q(x) + R(x)          (eq. 3)

O resto da divisão de P(x) por x(x-1) é no máximo do 1º grau, pois o divisor é do 2º grau; logo:

R(x)=ax+b

Da eq.3 vem:

P(x)=x(x-1) Q(x) + ax + b

Fazendo:

x=0  =>  P(0) = a(0)+b  =>  P(0) = b            (eq. 4)

x=1  =>  P(1) = a(1)+b  =>  P(1) = a+b        (eq. 5)

Das equações 1, 2, 4 e 5 temos:

Logo, b=6 e a=2.

Agora achamos o resto:  R(x) = ax+b = 2x+6

Resposta: R(x) = 2x+6.

• O dispositivo de Briot-Ruffini

Serve para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (ax+b).

Exemplo: Determinar o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x)=3x³-5x²+x-2 por (x-2).

Resolução:

Observe que o grau de Q(x) é uma unidade inferior ao de P(x), pois o divisor é de grau 1.

Resposta: Q(x)=3x²+x+3 e R(x)=4.

Para a resolução desse problema seguimos os seguintes passos:

1º) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo ordenadamente na parte de cima da “cerquinha”.

2º) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo.

3º) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo e somamos o produto com o 2º coeficiente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste.

4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado abaixo do 2º coeficiente e somamos o produto com o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente.

5º) Separamos o último número formado, que é igual ao resto da divisão, e os números que ficam à esquerda deste serão os coeficientes do quociente.

• Decomposição de um polinômio em fatores

Vamos analisar dois casos:

1º caso: O polinômio é do 2º grau.

De uma forma geral, o polinômio de 2º grau P(x)=ax²+bx+c que admite as raízes r₁ e r₂ pode ser decomposto em fatores do 1º grau, da seguinte forma:

Exemplos:

1)    Fatorar o polinômio P(x)=x²-4.

Resolução: Fazendo x²-4=0, obtemos as raízes r₁=2 e r₂=-2.

Logo: x²-4 = (x-2)(x+2).

2)    Fatorar o polinômio P(x)=x²-7x+10.

Resolução: Fazendo x²-7x+10=0, obtemos as raízes r₁=5 e r₂=2.

Logo: x²-7x+10 = (x-5)(x-2).

2º caso: O polinômio é de grau maior ou igual a 3.

     Conhecendo uma das raízes de um polinômio de 3º grau, podemos decompô-lo num produto de um polinômio do 1º grau por um polinômio do 2º grau e, se este tiver raízes, podemos em seguida decompô-lo também.

Exemplo: Decompor em fatores do 1º grau o polinômio 2x³-x²-x.

Resolução:

          2x³-x²-x = x.(2x²-x-1)   à  colocando x em evidência

          Fazendo x.(2x²-x-1) = 0 obtemos: x=0 ou 2x²-x-1=0.

          Uma das raízes já encontramos (x=0).

          As outras duas saem da equação: 2x²-x-1=0 => r₁=1 e r₂=-1/2.

          Portanto, o polinômio 2x³-x²-x, na forma fatorada é:

          2.x.(x-1).(x+(1/2)).

Generalizando, se o polinômio P(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀ admite n raízes r₁, r₂,..., r_n, podemos decompô-lo em fatores da seguinte forma:

Observações:

1)     Se duas, três ou mais raiz forem iguais, dizemos que são raízes duplas, triplas, etc.

2)     Uma raiz r₁ do polinômio P(x) é dita raiz dupla ou de multiplicidade 2 se P(x) é divisível por (x-r₁)² e não por (x-r₁)³.